Phương pháp nguyên hàm từng phần: công thức ∫u dv = uv − ∫v du, cách chọn u, dv và bài tập có đáp án Toán 12
Phương pháp nguyên hàm từng phần dùng công thức ∫u dv = uv − ∫v du, hữu ích với tích của đa thức với hàm mũ, lượng giác hoặc lôgarit. Quy tắc chọn u và dv, ví dụ ∫x·eˣdx, ∫x·cos x dx, ∫ln x dx và bài tập có đáp án Toán lớp 12.
Phương pháp nguyên hàm từng phần
Phương pháp nguyên hàm từng phần dựa trên đạo hàm của một tích: nếu $u = u(x)$ và $v = v(x)$ có đạo hàm liên tục thì $\int u\,dv = uv - \int v\,du$, với $du = u'(x)dx$ và $dv = v'(x)dx$. Phương pháp này dùng khi dưới dấu nguyên hàm là tích của hai loại hàm khác nhau.
Cách chọn u và dv
- Chọn $u$, $dv$ và tính $du$, $v$.
- Áp dụng $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.
- Tính nguyên hàm còn lại (đơn giản hơn).
Xem bài: Phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm
Ví dụ
Ví dụ 1
$\int x e^x dx$: $u = x$, $dv = e^x dx$ nên $du = dx$, $v = e^x$.
$= xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C = (x - 1)e^x + C$.
Ví dụ 2
$\int x\cos x\,dx$: $u = x$, $dv = \cos x\,dx$ nên $v = \sin x$.
$= x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C$.
Ví dụ 3
$\int \ln x\,dx$: $u = \ln x$, $dv = dx$ nên $du = \dfrac{dx}{x}$, $v = x$.
$= x\ln x - \int dx = x\ln x - x + C$.
Ví dụ 4
$\int x\ln x\,dx$: $u = \ln x$, $dv = x\,dx$ nên $v = \dfrac{x^2}{2}$.
$= \dfrac{x^2}{2}\ln x - \int \dfrac{x}{2}dx = \dfrac{x^2}{2}\ln x - \dfrac{x^2}{4} + C$.
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tìm $\int x e^{2x}dx$.
- Tìm $\int x\sin x\,dx$.
- Tìm $\int \ln(2x)\,dx$.
- Tìm $\int x^2 e^x dx$ (từng phần hai lần).
- Tìm $\int (x + 1)e^x dx$.
Đáp án
- $u = x$, $v = \dfrac{e^{2x}}{2}$: $\dfrac{xe^{2x}}{2} - \dfrac{e^{2x}}{4} + C$.
- $-x\cos x + \sin x + C$.
- $x\ln(2x) - x + C$.
- $x^2 e^x - 2xe^x + 2e^x + C$.
- $xe^x + C$ (vì $(xe^x)' = (x + 1)e^x$).
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm
Xem tất cả bài học chủ điểm Nguyên hàm và tích phân
Câu hỏi thường gặp
Công thức nguyên hàm từng phần?
$\int u\,dv = uv - \int v\,du$.
Chọn $u$ thế nào?
Theo thứ tự ưu tiên: lôgarit, đa thức, lượng giác, mũ.
Khi nào dùng từng phần?
Khi dưới dấu nguyên hàm là tích hai loại hàm khác nhau.
Có cần áp dụng nhiều lần không?
Có thể, ví dụ với $x^2 e^x$.