Phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm: đặt u = u(x), các dạng thường gặp và bài tập có đáp án Toán lớp 12
Phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm: đặt u = u(x), du = u'(x)dx để đưa ∫f(u(x))·u'(x)dx về ∫f(u)du. Các bước thực hiện, các dạng nhận biết (căn, lũy thừa, mũ, lôgarit, lượng giác), ví dụ chi tiết và bài tập có đáp án Toán 12.
Phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm
Phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm dựa trên công thức: nếu $\int f(u)\,du = F(u) + C$ và $u = u(x)$ có đạo hàm liên tục thì $\int f(u(x))\,u'(x)\,dx = F(u(x)) + C$. Nói cách khác, đặt $u = u(x)$, $du = u'(x)dx$ rồi tính nguyên hàm theo biến $u$.
Các bước thực hiện
- Chọn $u = u(x)$ (thường là biểu thức "trong" của hàm hợp).
- Tính $du = u'(x)dx$ và biểu diễn toàn bộ nguyên hàm theo $u$.
- Tính nguyên hàm theo $u$.
- Thay $u = u(x)$ trở lại.
Xem bài: Tính chất của nguyên hàm
Ví dụ
Ví dụ 1
$\int 2x(x^2 + 1)^3 dx$: đặt $u = x^2 + 1$, $du = 2x\,dx$ nên $= \int u^3 du = \dfrac{u^4}{4} + C = \dfrac{(x^2 + 1)^4}{4} + C$.
Ví dụ 2
$\int x e^{x^2}dx$: đặt $u = x^2$, $du = 2x\,dx$ nên $x\,dx = \dfrac{du}{2}$: $= \dfrac{1}{2}\int e^u du = \dfrac{1}{2}e^{x^2} + C$.
Ví dụ 3
$\int \dfrac{x}{x^2 + 1}dx$: đặt $u = x^2 + 1$: $= \dfrac{1}{2}\int \dfrac{du}{u} = \dfrac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C$.
Ví dụ 4
$\int \cos x\sin^2 x\,dx$: đặt $u = \sin x$, $du = \cos x\,dx$ nên $= \int u^2 du = \dfrac{\sin^3 x}{3} + C$.
Xem bài: Phương pháp nguyên hàm từng phần
Dấu hiệu chọn u
| Dạng | Chọn $u$ |
|---|---|
| $f(x)$ có mẫu hoặc chứa $(\ldots)^n$ | Biểu thức trong ngoặc / mẫu |
| Chứa $\sqrt{g(x)}$ | $u = g(x)$ hoặc $u = \sqrt{g(x)}$ |
| Chứa $e^{g(x)}$ | $u = g(x)$ |
| Chứa $\ln x$ và $\dfrac{1}{x}$ | $u = \ln x$ |
| Chứa $\sin x$ và $\cos x$ | $u = \sin x$ hoặc $u = \cos x$ |
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tìm $\int 3x^2(x^3 + 2)^4 dx$.
- Tìm $\int \dfrac{2x}{x^2 + 4}dx$.
- Tìm $\int \sin x\cos^3 x\,dx$.
- Tìm $\int \dfrac{\ln x}{x}dx$.
- Tìm $\int x\sqrt{x^2 + 1}\,dx$.
Đáp án
- $u = x^3 + 2$: $\dfrac{(x^3 + 2)^5}{5} + C$.
- $\ln(x^2 + 4) + C$.
- $u = \cos x$: $-\dfrac{\cos^4 x}{4} + C$.
- $u = \ln x$: $\dfrac{\ln^2 x}{2} + C$.
- $u = x^2 + 1$: $\dfrac{1}{3}(x^2 + 1)^{3/2} + C$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Tính chất của nguyên hàm
Bài tiếp theo: Phương pháp nguyên hàm từng phần
Xem tất cả bài học chủ điểm Nguyên hàm và tích phân
Câu hỏi thường gặp
Đổi biến số tìm nguyên hàm là gì?
Đặt $u = u(x)$ để đưa nguyên hàm về dạng đơn giản hơn theo $u$.
Các bước thực hiện?
Chọn $u$, tính $du$, đổi hết sang $u$, tính rồi thay lại.
Chọn $u$ thế nào?
Thường là biểu thức "trong" mà đạo hàm của nó xuất hiện ở ngoài.
Có cần thay lại $u$ không?
Có, kết quả phải theo $x$.