Tính chất của nguyên hàm: tổng, hiệu, nhân hằng số, nguyên hàm của f(ax + b) và bài tập có đáp án Toán 12
Tính chất của nguyên hàm gồm: đạo hàm của nguyên hàm bằng hàm ban đầu, nguyên hàm của tổng bằng tổng các nguyên hàm, hằng số đưa ra ngoài dấu tích phân. Công thức ∫f(ax + b)dx = (1/a)F(ax + b) + C, ví dụ và bài tập có đáp án Toán lớp 12.
Tính chất của nguyên hàm
Tính chất của nguyên hàm giúp tách nguyên hàm của hàm phức tạp thành các nguyên hàm cơ bản: nguyên hàm của một tổng bằng tổng các nguyên hàm, hằng số có thể đưa ra ngoài dấu tích phân, và nguyên hàm của $f(ax + b)$ được suy từ nguyên hàm của $f$.
Các tính chất
| Tính chất | Công thức |
|---|---|
| Đạo hàm của nguyên hàm | $\left(\int f(x)dx\right)' = f(x)$ |
| Hằng số | $\int kf(x)dx = k\int f(x)dx$ ($k \neq 0$) |
| Tổng, hiệu | $\int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$ |
| Hàm hợp tuyến tính | $\int f(ax + b)dx = \dfrac{1}{a}F(ax + b) + C$ ($a \neq 0$) |
Xem bài: Bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp
Ví dụ
Ví dụ 1
$\int (3x^2 - 2x + 1)dx = x^3 - x^2 + x + C$.
Ví dụ 2
$\int (2x + 1)^3 dx = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{(2x + 1)^4}{4} + C = \dfrac{(2x + 1)^4}{8} + C$.
Ví dụ 3
$\int \cos 2x\,dx = \dfrac{1}{2}\sin 2x + C$; $\int e^{3x}dx = \dfrac{e^{3x}}{3} + C$; $\int \dfrac{1}{2x - 1}dx = \dfrac{1}{2}\ln|2x - 1| + C$.
Ví dụ 4
$\int \left(x + \dfrac{1}{x}\right)dx = \dfrac{x^2}{2} + \ln|x| + C$; $\int \dfrac{x^2 + 1}{x}dx = \int \left(x + \dfrac{1}{x}\right)dx$.
Xem bài: Phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tìm $\int (x^2 + 4x - 5)dx$.
- Tìm $\int (3x - 1)^2 dx$.
- Tìm $\int \sin 3x\,dx$.
- Tìm $\int e^{2x + 1}dx$.
- Tìm $\int \dfrac{1}{3x + 2}dx$.
Đáp án
- $\dfrac{x^3}{3} + 2x^2 - 5x + C$.
- $\dfrac{(3x - 1)^3}{9} + C$.
- $-\dfrac{1}{3}\cos 3x + C$.
- $\dfrac{1}{2}e^{2x + 1} + C$.
- $\dfrac{1}{3}\ln|3x + 2| + C$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp
Bài tiếp theo: Phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm
Xem tất cả bài học chủ điểm Nguyên hàm và tích phân
Câu hỏi thường gặp
Nguyên hàm của một tổng?
Bằng tổng các nguyên hàm.
Nguyên hàm của $f(ax + b)$?
$\dfrac{1}{a}F(ax + b) + C$.
Đưa hằng số ra ngoài được không?
Được, $\int kf = k\int f$.
Nguyên hàm của tích có bằng tích các nguyên hàm không?
Không.