Bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp: lũy thừa, mũ, lượng giác, 1/x và bài tập có đáp án Toán 12
Bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp gồm nguyên hàm của hằng số, lũy thừa, 1/x, hàm số mũ, hàm số lượng giác. Công thức ∫xᵅdx = xᵅ⁺¹/(α + 1) + C, mẹo nhớ, ví dụ áp dụng và bài tập có đáp án Toán lớp 12.
Bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp
Bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp được suy ra từ bảng đạo hàm bằng cách đọc ngược. Thuộc bảng này là điều kiện để tính mọi nguyên hàm và tích phân sau này.
Bảng công thức
| Hàm số | Họ nguyên hàm |
|---|---|
| $0$ | $C$ |
| $1$ | $x + C$ |
| $x^\alpha$ ($\alpha \neq -1$) | $\dfrac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\ln|x| + C$ |
| $e^x$ | $e^x + C$ |
| $a^x$ ($0 < a \neq 1$) | $\dfrac{a^x}{\ln a} + C$ |
| $\sin x$ | $-\cos x + C$ |
| $\cos x$ | $\sin x + C$ |
| $\dfrac{1}{\cos^2 x}$ | $\tan x + C$ |
| $\dfrac{1}{\sin^2 x}$ | $-\cot x + C$ |
Ví dụ
Ví dụ 1
$\int x^5\,dx = \dfrac{x^6}{6} + C$; $\int \sqrt{x}\,dx = \int x^{1/2}dx = \dfrac{2}{3}x^{3/2} + C$; $\int \dfrac{1}{x^2}dx = -\dfrac{1}{x} + C$.
Ví dụ 2
$\int 2^x\,dx = \dfrac{2^x}{\ln 2} + C$; $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$; $\int \dfrac{1}{x}dx = \ln|x| + C$.
Xem bài: Tính chất của nguyên hàm
Mẹo nhớ
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tìm $\int x^3\,dx$.
- Tìm $\int \dfrac{1}{x^3}dx$.
- Tìm $\int e^x\,dx$ và $\int 3^x\,dx$.
- Tìm $\int \cos x\,dx$ và $\int \dfrac{1}{\cos^2 x}dx$.
- Tìm $\int \sqrt[3]{x}\,dx$.
Đáp án
- $\dfrac{x^4}{4} + C$.
- $\int x^{-3}dx = -\dfrac{1}{2x^2} + C$.
- $e^x + C$ và $\dfrac{3^x}{\ln 3} + C$.
- $\sin x + C$ và $\tan x + C$.
- $\int x^{1/3}dx = \dfrac{3}{4}x^{4/3} + C$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài tiếp theo: Tính chất của nguyên hàm
Xem tất cả bài học chủ điểm Nguyên hàm và tích phân
Câu hỏi thường gặp
Nguyên hàm của $x^n$?
$\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ với $n \neq -1$.
Nguyên hàm của $\dfrac{1}{x}$?
$\ln|x| + C$.
Nguyên hàm của $\sin x$?
$-\cos x + C$.
Làm sao kiểm tra kết quả?
Lấy đạo hàm và so với hàm dưới dấu tích phân.