Nguyên hàm là gì? Định nghĩa, họ nguyên hàm, kí hiệu tích phân bất định và bài tập có đáp án Toán lớp 12
Nguyên hàm là gì? Hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K. Họ nguyên hàm ∫f(x)dx = F(x) + C, định nghĩa, ví dụ tìm nguyên hàm, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án Toán 12.
Nguyên hàm là gì? Định nghĩa nguyên hàm
Nguyên hàm là gì? Cho hàm số $f(x)$ xác định trên khoảng $K$. Hàm số $F(x)$ gọi là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ nếu $F'(x) = f(x)$ với mọi $x \in K$. Nguyên hàm là phép toán ngược của phép lấy đạo hàm.
Định nghĩa và họ nguyên hàm
Ví dụ 1
$(x^2)' = 2x$ nên $\int 2x\,dx = x^2 + C$.
$(\sin x)' = \cos x$ nên $\int \cos x\,dx = \sin x + C$.
$(e^x)' = e^x$ nên $\int e^x\,dx = e^x + C$.
Xem bài: Bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp
Kiểm tra một hàm có phải nguyên hàm
Ví dụ 2
$F(x) = x^3 + 5$ có phải nguyên hàm của $f(x) = 3x^2$ không? $F'(x) = 3x^2 = f(x)$ nên đúng.
Hai nguyên hàm của cùng một hàm chỉ khác nhau một hằng số.
Ví dụ 3
Tìm nguyên hàm $F(x)$ của $f(x) = 2x + 3$ thỏa $F(0) = 1$: $F(x) = x^2 + 3x + C$; $F(0) = C = 1$ nên $F(x) = x^2 + 3x + 1$.
Ý nghĩa
Nếu biết vận tốc $v(t)$ thì quãng đường $s(t)$ là một nguyên hàm của $v(t)$. Nguyên hàm cũng dùng để khôi phục hàm số từ tốc độ biến thiên của nó.
Xem bài: Tính chất của nguyên hàm
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Chứng minh $F(x) = x^4$ là nguyên hàm của $f(x) = 4x^3$.
- Tìm họ nguyên hàm của $f(x) = 3x^2$.
- Tìm nguyên hàm $F(x)$ của $f(x) = 2x$ thỏa $F(1) = 5$.
- Hàm $F(x) = \cos x$ có phải nguyên hàm của $\sin x$ không?
- Hai nguyên hàm của cùng một hàm khác nhau điều gì?
Đáp án
- $F'(x) = 4x^3 = f(x)$.
- $x^3 + C$.
- $F = x^2 + C$, $F(1) = 1 + C = 5 \Rightarrow F = x^2 + 4$.
- Không, $(\cos x)' = -\sin x$; nguyên hàm của $\sin x$ là $-\cos x + C$.
- Chỉ khác nhau một hằng số.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài tiếp theo: Bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp
Xem tất cả bài học chủ điểm Nguyên hàm và tích phân
Câu hỏi thường gặp
Nguyên hàm là gì?
Hàm $F$ sao cho $F'(x) = f(x)$.
Họ nguyên hàm kí hiệu thế nào?
$\int f(x)dx = F(x) + C$.
Vì sao có hằng số $C$?
Vì đạo hàm của hằng số bằng $0$.
Nguyên hàm và đạo hàm liên hệ ra sao?
Là hai phép toán ngược nhau.