Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng: S = ∫|f(x) − g(x)|dx, các dạng và bài tập có đáp án Toán 12

Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = f(x), y = g(x) và hai đường x = a, x = b: S = ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx. Các bước tính, cách xử lí dấu giá trị tuyệt đối bằng nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm, ví dụ và bài tập có đáp án.

$Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng: S = ∫|f(x) − g(x)|dx, các dạng và bài tập có đáp án Toán 12$

Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng: diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số liên tục $y = f(x)$, $y = g(x)$ và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ là $S = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx$. Khi chỉ cho hai đồ thị cắt nhau, các cận $a$, $b$ là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.

Các bước tính

Giải phương trình hoành độ giao điểm $f(x) = g(x)$ để tìm các cận.
Xét dấu $f(x) - g(x)$ trên từng đoạn để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Tính tích phân trên từng đoạn rồi cộng lại.

Xem bài: Phương pháp tích phân từng phần

Ví dụ

Ví dụ 1

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = x$. Giải $x^2 = x$ được $x = 0$, $x = 1$. Trên $[0; 1]$ có $x \geq x^2$.
$S = \int_0^1 (x - x^2)dx = \left(\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3}\right)\Big|_0^1 = \dfrac{1}{6}$.

Ví dụ 2

Diện tích giới hạn bởi $y = \sin x$, trục $Ox$, $x = 0$, $x = \pi$: $S = \int_0^\pi \sin x\,dx = 2$.

Ví dụ 3

Diện tích giới hạn bởi $y = x^2 - 1$ và trục $Ox$: giao điểm $x = \pm 1$, trên $[-1; 1]$ có $x^2 - 1 \leq 0$.
$S = \int_{-1}^1 (1 - x^2)dx = \dfrac{4}{3}$.

Ví dụ 4: tách đoạn

$S$ giới hạn bởi $y = x^3$, trục $Ox$, $x = -1$, $x = 1$: $S = \int_{-1}^0 (-x^3)dx + \int_0^1 x^3 dx = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$.

Xem bài: Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Tính diện tích giới hạn bởi $y = x^2$, trục $Ox$, $x = 0$, $x = 2$.
Tính diện tích giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = 2x$.
Tính diện tích giới hạn bởi $y = e^x$, trục $Ox$, $x = 0$, $x = 1$.
Tính diện tích giới hạn bởi $y = x^2 - 4x$ và trục $Ox$.
Công thức tổng quát tính diện tích hình phẳng giữa hai đồ thị?

Đáp án

$\int_0^2 x^2 dx = \dfrac{8}{3}$.
Giao điểm $x = 0$, $x = 2$: $\int_0^2 (2x - x^2)dx = \dfrac{4}{3}$.
$e - 1$.
Giao điểm $x = 0$, $x = 4$, $f \leq 0$: $S = \int_0^4 (4x - x^2)dx = \dfrac{32}{3}$.
$S = \int_a^b |f(x) - g(x)|dx$.