Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể: thể tích theo diện tích mặt cắt, vật thể tròn xoay và bài tập có đáp án

Ví dụ 1

Quay $y = \sqrt{x}$ ($0 \leq x \leq 4$) quanh $Ox$: $V = \pi\int_0^4 x\,dx = \pi \cdot 8 = 8\pi$.

Ví dụ 2: khối nón

Quay $y = x$ ($0 \leq x \leq 3$) quanh $Ox$: $V = \pi\int_0^3 x^2 dx = 9\pi$, trùng $\dfrac{1}{3}\pi r^2 h = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 3 = 9\pi$.

Ví dụ 3: khối cầu

Quay nửa đường tròn $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ ($-R \leq x \leq R$) quanh $Ox$: $V = \pi\int_{-R}^R (R^2 - x^2)dx = \pi\left(2R^3 - \dfrac{2R^3}{3}\right) = \dfrac{4}{3}\pi R^3$.

Ví dụ 4

Quay $y = e^x$ ($0 \leq x \leq 1$) quanh $Ox$: $V = \pi\int_0^1 e^{2x}dx = \dfrac{\pi}{2}(e^2 - 1)$.

Ví dụ

Vật thể có mặt cắt tại $x$ là hình vuông cạnh $x$ ($0 \leq x \leq 2$): $S(x) = x^2$, $V = \int_0^2 x^2 dx = \dfrac{8}{3}$.

Câu hỏi thường gặp

Thể tích vật thể tính bằng tích phân thế nào?

$V = \int_a^b S(x)dx$ với $S(x)$ là diện tích mặt cắt.

Thể tích khối tròn xoay quanh $Ox$?

$V = \pi\int_a^b f^2(x)dx$.

Tích phân cho thể tích khối cầu?

$\dfrac{4}{3}\pi R^3$.

Có cần nhân $\pi$ không?

Có, với khối tròn xoay.