Đạo hàm của hàm số lũy thừa: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹, đạo hàm căn thức và bài tập có đáp án Toán lớp 11
Đạo hàm của hàm số lũy thừa: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹ với n nguyên dương, (c)' = 0, (x)' = 1, (√x)' = 1/(2√x), (1/x)' = −1/x². Bảng công thức, ví dụ tính đạo hàm đa thức, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án Toán lớp 11.
Đạo hàm của hàm số lũy thừa
Đạo hàm của hàm số lũy thừa là công thức cơ bản nhất của chương: với $n$ nguyên dương, $(x^n)' = n x^{n-1}$. Từ đó suy ra đạo hàm của hằng số, của $x$, của căn bậc hai và của $\dfrac{1}{x}$.
Bảng công thức
| Hàm số | Đạo hàm |
|---|---|
| $c$ (hằng số) | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n$ ($n \in \mathbb{N}^*$) | $n x^{n-1}$ |
| $\sqrt{x}$ ($x > 0$) | $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ |
| $\dfrac{1}{x}$ ($x \neq 0$) | $-\dfrac{1}{x^2}$ |
Xem bài: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Ví dụ
Ví dụ 1
$(x^5)' = 5x^4$; $(x^{10})' = 10x^9$; $(3)' = 0$.
Ví dụ 2
$(\sqrt{x})'$ tại $x = 4$: $\dfrac{1}{2\sqrt{4}} = \dfrac{1}{4}$.
Ví dụ 3
$\left(\dfrac{1}{x}\right)'$ tại $x = 2$: $-\dfrac{1}{4}$.
Xem bài: Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
Chứng minh nhanh (xⁿ)'
Dùng $x^n - x_0^n = (x - x_0)(x^{n-1} + x^{n-2}x_0 + \cdots + x_0^{n-1})$, chia cho $x - x_0$ rồi cho $x \to x_0$ ta được $n x_0^{n-1}$.
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tính $(x^7)'$ và $(x^2)'$.
- Tính $(\sqrt{x})'$ tại $x = 9$.
- Tính $\left(\dfrac{1}{x}\right)'$ tại $x = -1$.
- Tính $(5)'$.
- Tính $(x^{100})'$ tại $x = 1$.
Đáp án
- $7x^6$ và $2x$.
- $\dfrac{1}{6}$.
- $-1$.
- $0$.
- $100$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Bài tiếp theo: Đạo hàm của hàm số lượng giác
Xem tất cả bài học chủ điểm Đạo hàm
Câu hỏi thường gặp
Đạo hàm của $x^n$?
$n x^{n-1}$.
Đạo hàm của hằng số?
Bằng $0$.
Đạo hàm của $\sqrt{x}$?
$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ với $x > 0$.
Đạo hàm của $\dfrac{1}{x}$?
$-\dfrac{1}{x^2}$.