Đạo hàm của hàm số lượng giác: (sin x)', (cos x)', (tan x)', (cot x)' và bài tập có đáp án Toán lớp 11
Đạo hàm của hàm số lượng giác: (sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x, (tan x)' = 1/cos²x, (cot x)' = −1/sin²x. Giới hạn lim sin x / x = 1, bảng công thức, ví dụ tính đạo hàm và bài tập có đáp án Toán lớp 11.
Đạo hàm của hàm số lượng giác
Đạo hàm của hàm số lượng giác dựa trên giới hạn đặc biệt $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$. Kết quả: $(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$, $(\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}$ và $(\cot x)' = -\dfrac{1}{\sin^2 x}$.
Bảng công thức
| Hàm số | Đạo hàm | Điều kiện |
|---|---|---|
| $\sin x$ | $\cos x$ | |
| $\cos x$ | $-\sin x$ | |
| $\tan x$ | $\dfrac{1}{\cos^2 x}$ | $\cos x \neq 0$ |
| $\cot x$ | $-\dfrac{1}{\sin^2 x}$ | $\sin x \neq 0$ |
Xem bài: Đạo hàm của hàm số lũy thừa
Ví dụ
Ví dụ 1
$(\sin x)'$ tại $x = \dfrac{\pi}{3}$ bằng $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$.
Ví dụ 2
$(\cos x)'$ tại $x = \dfrac{\pi}{2}$ bằng $-\sin\dfrac{\pi}{2} = -1$.
Ví dụ 3
$(\tan x)'$ tại $x = \dfrac{\pi}{4}$ bằng $\dfrac{1}{\cos^2\frac{\pi}{4}} = 2$.
Ví dụ 4
Giới hạn $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x}{x} = \lim 3 \cdot \dfrac{\sin 3x}{3x} = 3$.
Xem bài: Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit
Mẹo nhớ
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tính $(\sin x)'$ tại $x = 0$.
- Tính $(\cos x)'$ tại $x = \dfrac{\pi}{6}$.
- Tính $(\tan x)'$ tại $x = 0$.
- Tính $(\cot x)'$ tại $x = \dfrac{\pi}{2}$.
- Tính $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 5x}{x}$.
Đáp án
- $\cos 0 = 1$.
- $-\sin\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{1}{2}$.
- $1$.
- $-\dfrac{1}{\sin^2\frac{\pi}{2}} = -1$.
- $5$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Đạo hàm của hàm số lũy thừa
Bài tiếp theo: Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit
Xem tất cả bài học chủ điểm Đạo hàm
Câu hỏi thường gặp
Đạo hàm của sin x?
$\cos x$.
Đạo hàm của cos x?
$-\sin x$.
Đạo hàm của tan x?
$\dfrac{1}{\cos^2 x}$.
Giới hạn đặc biệt nào được dùng?
$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$.