Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit: (eˣ)', (aˣ)', (ln x)', (logₐ x)' và bài tập có đáp án
Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit: (eˣ)' = eˣ, (aˣ)' = aˣ·ln a, (ln x)' = 1/x, (logₐ x)' = 1/(x·ln a). Bảng công thức, điều kiện, ví dụ tính đạo hàm và bài tập có đáp án Toán lớp 11.
Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit
Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit: hàm số mũ cơ số $e$ có đạo hàm bằng chính nó, $(e^x)' = e^x$; tổng quát $(a^x)' = a^x \ln a$. Hàm số lôgarit tự nhiên có $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ và tổng quát $(\log_a x)' = \dfrac{1}{x\ln a}$.
Bảng công thức
| Hàm số | Đạo hàm | Điều kiện |
|---|---|---|
| $e^x$ | $e^x$ | |
| $a^x$ | $a^x \ln a$ | $a > 0$, $a \neq 1$ |
| $\ln x$ | $\dfrac{1}{x}$ | $x > 0$ |
| $\log_a x$ | $\dfrac{1}{x\ln a}$ | $x > 0$, $a > 0$, $a \neq 1$ |
Xem bài: Đạo hàm của hàm số lượng giác
Ví dụ
Ví dụ 1
$(2^x)' = 2^x \ln 2$; $(e^x)'$ tại $x = 0$ bằng $1$.
Ví dụ 2
$(\ln x)'$ tại $x = 2$ bằng $\dfrac{1}{2}$; $(\log_2 x)' = \dfrac{1}{x\ln 2}$.
Ví dụ 3
$(3^x)'$ tại $x = 1$ bằng $3\ln 3$.
Xem bài: Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
Giới hạn liên quan
Các công thức dựa trên $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = 1$ và $\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(1 + x)}{x} = 1$.
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tính $(5^x)'$.
- Tính $(e^x)'$ tại $x = \ln 2$.
- Tính $(\ln x)'$ tại $x = e$.
- Tính $(\log_3 x)'$ tại $x = 3$.
- Tính $(10^x)'$ tại $x = 0$.
Đáp án
- $5^x\ln 5$.
- $e^{\ln 2} = 2$.
- $\dfrac{1}{e}$.
- $\dfrac{1}{3\ln 3}$.
- $\ln 10$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Đạo hàm của hàm số lượng giác
Bài tiếp theo: Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
Xem tất cả bài học chủ điểm Đạo hàm
Câu hỏi thường gặp
Đạo hàm của $e^x$?
Chính là $e^x$.
Đạo hàm của $a^x$?
$a^x \ln a$.
Đạo hàm của $\ln x$?
$\dfrac{1}{x}$.
Đạo hàm của $\log_a x$?
$\dfrac{1}{x\ln a}$.