Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương: quy tắc tính đạo hàm, ví dụ và bài tập có đáp án Toán lớp 11
Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số: (u ± v)' = u' ± v', (uv)' = u'v + uv', (u/v)' = (u'v − uv')/v², (ku)' = k·u'. Các quy tắc, ví dụ tính đạo hàm đa thức, phân thức, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án.
Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương cho phép tính đạo hàm của các hàm số phức tạp từ đạo hàm của các hàm số đơn giản. Với $u$, $v$ có đạo hàm: $(u \pm v)' = u' \pm v'$; $(uv)' = u'v + uv'$; $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ ($v \neq 0$); $(ku)' = k u'$.
Các quy tắc
| Quy tắc | Công thức |
|---|---|
| Tổng, hiệu | $(u \pm v)' = u' \pm v'$ |
| Nhân với hằng số | $(ku)' = k u'$ |
| Tích | $(uv)' = u'v + uv'$ |
| Thương | $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ |
| Nghịch đảo | $\left(\dfrac{1}{v}\right)' = -\dfrac{v'}{v^2}$ |
Xem bài: Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit
Ví dụ
Ví dụ 1: đa thức
$(x^3 - 2x^2 + 5x - 1)' = 3x^2 - 4x + 5$.
Ví dụ 2: tích
$(x^2 \sin x)' = 2x\sin x + x^2\cos x$.
Ví dụ 3: thương
$\left(\dfrac{x + 1}{x - 1}\right)' = \dfrac{1 \cdot (x - 1) - (x + 1) \cdot 1}{(x - 1)^2} = \dfrac{-2}{(x - 1)^2}$.
Ví dụ 4
$(x e^x)' = e^x + x e^x = (x + 1)e^x$; $\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)' = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$.
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tính $(x^4 + 3x^2 - 7)'$.
- Tính $(x\cos x)'$.
- Tính $\left(\dfrac{x}{x + 1}\right)'$.
- Tính $(\sqrt{x} \cdot x^2)'$.
- Tính $\left(\dfrac{1}{x^2}\right)'$.
Đáp án
- $4x^3 + 6x$.
- $\cos x - x\sin x$.
- $\dfrac{(x + 1) - x}{(x + 1)^2} = \dfrac{1}{(x + 1)^2}$.
- $(x^{5/2})' = \dfrac{5}{2}x^{3/2}$, hoặc $\dfrac{x^2}{2\sqrt{x}} + 2x\sqrt{x}$.
- $-\dfrac{2}{x^3}$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit
Bài tiếp theo: Đạo hàm của hàm hợp
Xem tất cả bài học chủ điểm Đạo hàm
Câu hỏi thường gặp
Đạo hàm của tích hai hàm số?
$(uv)' = u'v + uv'$.
Đạo hàm của thương hai hàm số?
$\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.
Đạo hàm của tổng?
Tổng các đạo hàm.
Đạo hàm của hằng số nhân hàm số?
$(ku)' = ku'$.