Đạo hàm của hàm hợp: quy tắc dây chuyền, công thức (uⁿ)', (sin u)', (eᵘ)', (ln u)' và bài tập có đáp án
Đạo hàm của hàm hợp y = f(u(x)) là y' = f'(u)·u'(x) (quy tắc dây chuyền). Các công thức (uⁿ)' = n·uⁿ⁻¹·u', (sin u)' = u'·cos u, (eᵘ)' = u'·eᵘ, (ln u)' = u'/u, ví dụ tính đạo hàm và bài tập có đáp án Toán lớp 11.
Đạo hàm của hàm hợp
Đạo hàm của hàm hợp: nếu $u = u(x)$ có đạo hàm tại $x$ và $y = f(u)$ có đạo hàm tại $u(x)$ thì hàm hợp $y = f(u(x))$ có đạo hàm $y'_x = y'_u \cdot u'_x$. Quy tắc này còn gọi là quy tắc dây chuyền: đạo hàm "ngoài" nhân đạo hàm "trong".
Công thức thường dùng
| Hàm số | Đạo hàm |
|---|---|
| $u^n$ | $n u^{n-1} \cdot u'$ |
| $\sqrt{u}$ | $\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ |
| $\sin u$ | $u' \cos u$ |
| $\cos u$ | $-u' \sin u$ |
| $e^u$ | $u' e^u$ |
| $\ln u$ | $\dfrac{u'}{u}$ |
Xem bài: Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
Ví dụ
Ví dụ 1
$\left[(2x + 1)^5\right]' = 5(2x + 1)^4 \cdot 2 = 10(2x + 1)^4$.
Ví dụ 2
$(\sin 3x)' = 3\cos 3x$; $\left(\cos x^2\right)' = -2x\sin x^2$.
Ví dụ 3
$\left(e^{x^2}\right)' = 2x e^{x^2}$; $\left[\ln(x^2 + 1)\right]' = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$.
Ví dụ 4
$\left(\sqrt{x^2 + 1}\right)' = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$.
Các bước tính
- Xác định hàm "ngoài" $f$ và hàm "trong" $u(x)$.
- Tính $f'(u)$ rồi thay $u = u(x)$.
- Nhân với $u'(x)$ và rút gọn.
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tính $\left[(3x - 2)^4\right]'$.
- Tính $(\sin 2x)'$ và $(\cos 5x)'$.
- Tính $\left(e^{2x + 1}\right)'$.
- Tính $\left[\ln(3x + 2)\right]'$.
- Tính $\left(\sqrt{2x + 1}\right)'$.
Đáp án
- $4(3x - 2)^3 \cdot 3 = 12(3x - 2)^3$.
- $2\cos 2x$ và $-5\sin 5x$.
- $2e^{2x + 1}$.
- $\dfrac{3}{3x + 2}$.
- $\dfrac{2}{2\sqrt{2x + 1}} = \dfrac{1}{\sqrt{2x + 1}}$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
Bài tiếp theo: Đạo hàm cấp hai
Xem tất cả bài học chủ điểm Đạo hàm
Câu hỏi thường gặp
Đạo hàm của hàm hợp tính thế nào?
$y' = f'(u) \cdot u'$.
Quy tắc dây chuyền là gì?
Đạo hàm hàm ngoài nhân đạo hàm hàm trong.
Đạo hàm của $\sin 3x$?
$3\cos 3x$.
Đạo hàm của $\ln u$?
$\dfrac{u'}{u}$.