Đạo hàm cấp hai: định nghĩa, cách tính, ý nghĩa cơ học (gia tốc) và bài tập có đáp án Toán lớp 11
Đạo hàm cấp hai của hàm số f là đạo hàm của đạo hàm f', kí hiệu f''. Cách tính đạo hàm cấp hai của đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ, ý nghĩa cơ học là gia tốc tức thời của chuyển động và bài tập có đáp án Toán lớp 11.
Đạo hàm cấp hai là gì?
Đạo hàm cấp hai của hàm số $f(x)$, kí hiệu $f''(x)$ hay $y''$, là đạo hàm của đạo hàm cấp một: $f''(x) = [f'(x)]'$. Đạo hàm cấp hai có ý nghĩa cơ học là gia tốc tức thời của chuyển động.
Cách tính
- Tính đạo hàm cấp một $f'(x)$.
- Lấy đạo hàm của $f'(x)$ để được $f''(x)$.
Ví dụ 1
$f(x) = x^4 - 2x^2$: $f'(x) = 4x^3 - 4x$ nên $f''(x) = 12x^2 - 4$.
Ví dụ 2
$f(x) = \sin x$: $f' = \cos x$, $f'' = -\sin x$. $f(x) = e^{2x}$: $f' = 2e^{2x}$, $f'' = 4e^{2x}$.
Ví dụ 3
$f(x) = \dfrac{1}{x}$: $f' = -\dfrac{1}{x^2}$, $f'' = \dfrac{2}{x^3}$.
Ý nghĩa cơ học
Ví dụ
$s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$: $v = 3t^2 - 12t + 9$, $a = 6t - 12$. Tại $t = 3$: $a(3) = 6$.
Xem bài: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tính $f''(x)$ với $f(x) = x^3 - 3x$.
- Tính $f''(x)$ với $f(x) = \cos x$.
- Tính $f''(x)$ với $f(x) = \ln x$.
- $s(t) = 2t^3 - t^2$. Tính gia tốc tại $t = 2$.
- $s(t) = 5t^2$. Gia tốc của chuyển động là bao nhiêu?
Đáp án
- $f' = 3x^2 - 3$, $f'' = 6x$.
- $f' = -\sin x$, $f'' = -\cos x$.
- $f' = \dfrac{1}{x}$, $f'' = -\dfrac{1}{x^2}$.
- $a = s'' = 12t - 2$, $a(2) = 22$.
- $a = 10$ (hằng số).
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Đạo hàm của hàm hợp
Bài tiếp theo: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Xem tất cả bài học chủ điểm Đạo hàm
Câu hỏi thường gặp
Đạo hàm cấp hai là gì?
Là đạo hàm của đạo hàm cấp một.
Ý nghĩa cơ học?
Gia tốc tức thời của chuyển động.
Kí hiệu?
$f''(x)$ hoặc $y''$.
Cách tính?
Đạo hàm hai lần liên tiếp.