Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: tại một điểm, biết hệ số góc và bài tập có đáp án Toán 11
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M₀(x₀; y₀) là y = f'(x₀)(x − x₀) + y₀. Các dạng thường gặp: tiếp tuyến tại một điểm, biết hệ số góc, song song hoặc vuông góc với đường thẳng cho trước, ví dụ và bài tập có đáp án.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm $M_0(x_0; y_0)$ thuộc đồ thị là $y = f'(x_0)(x - x_0) + y_0$, trong đó $f'(x_0)$ là hệ số góc của tiếp tuyến. Mọi bài toán tiếp tuyến đều quy về việc tìm $x_0$, $y_0$ và $f'(x_0)$.
Dạng 1: tiếp tuyến tại điểm cho trước
Ví dụ 1
Tiếp tuyến của $y = x^2$ tại $x_0 = 1$: $y_0 = 1$, $f'(x) = 2x$ nên $f'(1) = 2$. Phương trình: $y = 2(x - 1) + 1 = 2x - 1$.
Ví dụ 2
Tiếp tuyến của $y = x^3 - 3x + 1$ tại $x_0 = 2$: $y_0 = 3$, $f'(x) = 3x^2 - 3$ nên $f'(2) = 9$. Phương trình: $y = 9(x - 2) + 3 = 9x - 15$.
Dạng 2: biết hệ số góc
- Giải $f'(x_0) = k$ để tìm $x_0$.
- Tính $y_0 = f(x_0)$.
- Viết $y = k(x - x_0) + y_0$.
Ví dụ
Tiếp tuyến của $y = x^2$ có hệ số góc $3$: $2x_0 = 3 \Rightarrow x_0 = \dfrac{3}{2}$, $y_0 = \dfrac{9}{4}$. Phương trình: $y = 3\left(x - \dfrac{3}{2}\right) + \dfrac{9}{4} = 3x - \dfrac{9}{4}$.
Dạng 3: song song, vuông góc với đường thẳng
- Song song với đường thẳng có hệ số góc $m$: $k = m$.
- Vuông góc với đường thẳng có hệ số góc $m$ ($m \neq 0$): $k = -\dfrac{1}{m}$.
Ví dụ
Tiếp tuyến của $y = x^2$ vuông góc với $y = -\dfrac{1}{2}x$: $k = 2$ nên $2x_0 = 2$, $x_0 = 1$, tiếp tuyến $y = 2x - 1$.
Xem bài: Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Viết tiếp tuyến của $y = x^2 + 1$ tại $x_0 = 2$.
- Viết tiếp tuyến của $y = x^3$ tại $x_0 = 1$.
- Viết tiếp tuyến của $y = x^2$ song song với $y = 4x + 1$.
- Viết tiếp tuyến của $y = x^3 - x$ có hệ số góc $2$ (nêu các hoành độ tiếp điểm).
- Hệ số góc tiếp tuyến của $y = \dfrac{1}{x}$ tại $x_0 = 1$.
Đáp án
- $f(2) = 5$, $f'(2) = 4$: $y = 4(x - 2) + 5 = 4x - 3$.
- $f(1) = 1$, $f'(1) = 3$: $y = 3x - 2$.
- $2x_0 = 4 \Rightarrow x_0 = 2$, $y_0 = 4$: $y = 4x - 4$.
- $3x_0^2 - 1 = 2 \Rightarrow x_0 = \pm 1$.
- $f'(1) = -1$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài tiếp theo: Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
Xem tất cả bài học chủ điểm Đạo hàm
Câu hỏi thường gặp
Phương trình tiếp tuyến tại một điểm?
$y = f'(x_0)(x - x_0) + y_0$.
Hệ số góc của tiếp tuyến là gì?
Là $f'(x_0)$.
Tiếp tuyến song song với đường thẳng cho trước?
Có cùng hệ số góc với đường thẳng đó.
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng cho trước?
Có hệ số góc bằng $-\dfrac{1}{m}$.