Định nghĩa đạo hàm và ý nghĩa của đạo hàm: công thức, hệ số góc tiếp tuyến và bài tập có đáp án Toán 11
Định nghĩa đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x₀ là f'(x₀) = lim [f(x) − f(x₀)] / (x − x₀). Ý nghĩa hình học là hệ số góc của tiếp tuyến, quan hệ với tính liên tục, ví dụ tính đạo hàm bằng định nghĩa và bài tập có đáp án Toán lớp 11.
Định nghĩa đạo hàm và ý nghĩa hình học
Định nghĩa đạo hàm: cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng chứa $x_0$. Giới hạn hữu hạn (nếu có) $f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ gọi là đạo hàm của $f$ tại $x_0$. Đạo hàm đo tốc độ thay đổi của hàm số tại điểm đó.
Tính đạo hàm bằng định nghĩa
- Tính $f(x) - f(x_0)$.
- Lập tỉ số $\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ và rút gọn.
- Tìm giới hạn khi $x \to x_0$.
Ví dụ 1
$f(x) = x^2$ tại $x_0 = 3$: $\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim (x + 3) = 6$ nên $f'(3) = 6$.
Ví dụ 2
$f(x) = x^2$ tại $x_0$ bất kì: $\lim \dfrac{x^2 - x_0^2}{x - x_0} = 2x_0$ nên $(x^2)' = 2x$.
Xem bài: Đạo hàm của hàm số lũy thừa
Ý nghĩa hình học
Ví dụ
Đồ thị $y = x^2$ tại $M_0(1; 1)$ có hệ số góc $f'(1) = 2$.
Quan hệ với tính liên tục
Nếu hàm số có đạo hàm tại $x_0$ thì liên tục tại $x_0$. Ngược lại không đúng: $f(x) = |x|$ liên tục tại $0$ nhưng không có đạo hàm tại $0$ (hai giới hạn một phía là $1$ và $-1$).
Xem bài: Đạo hàm của hàm số lượng giác
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tính $f'(2)$ bằng định nghĩa với $f(x) = x^2 + x$.
- Tính $f'(1)$ với $f(x) = 3x - 1$.
- Tìm hệ số góc tiếp tuyến của $y = x^2$ tại điểm có hoành độ $-1$.
- Hàm $f(x) = |x|$ có đạo hàm tại $x = 0$ không?
- Nếu hàm số có đạo hàm tại $x_0$ thì có liên tục tại $x_0$ không?
Đáp án
- $\lim \dfrac{x^2 + x - 6}{x - 2} = \lim (x + 3) = 5$.
- $\lim \dfrac{3x - 3}{x - 1} = 3$.
- $f'(-1) = -2$.
- Không.
- Có.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài tiếp theo: Đạo hàm của hàm số lũy thừa
Xem tất cả bài học chủ điểm Đạo hàm
Câu hỏi thường gặp
Đạo hàm của hàm số tại một điểm là gì?
Là giới hạn của tỉ số số gia hàm số trên số gia đối số.
Ý nghĩa hình học của đạo hàm?
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó.
Có đạo hàm thì liên tục không?
Có.
Ví dụ hàm liên tục nhưng không có đạo hàm?
$f(x) = |x|$ tại $x = 0$.