Công thức xác suất toàn phần: P(A) = P(B)P(A|B) + P(B̄)P(A|B̄), ví dụ và bài tập có đáp án Toán 12

Công thức xác suất toàn phần tính P(A) khi có hai biến cố B và B̄ chia không gian mẫu: P(A) = P(B)·P(A|B) + P(B̄)·P(A|B̄). Cách dùng sơ đồ cây, ví dụ sản phẩm hai máy, thời tiết và bài tập có đáp án Toán lớp 12.

$Công thức xác suất toàn phần: P(A) = P(B)P(A|B) + P(B̄)P(A|B̄), ví dụ và bài tập có đáp án Toán 12$

Công thức xác suất toàn phần

Công thức xác suất toàn phần cho phép tính xác suất của biến cố $A$ thông qua hai trường hợp loại trừ nhau $B$ và $\overline{B}$: $P(A) = P(B) \cdot P(A|B) + P(\overline{B}) \cdot P(A|\overline{B})$. Dùng khi $A$ xảy ra qua nhiều 'nguồn' khác nhau.

Công thức và cách dùng

Chọn biến cố $B$ chia tình huống thành hai trường hợp.
Tính $P(B)$, $P(\overline{B})$ và các xác suất có điều kiện.
Nhân dọc nhánh, cộng các nhánh dẫn tới $A$.

Ví dụ 1: hai máy

Máy I làm $60\%$ sản phẩm, máy II làm $40\%$. Tỉ lệ lỗi của máy I là $2\%$, của máy II là $5\%$. Xác suất một sản phẩm lỗi: $P = 0{,}6 \cdot 0{,}02 + 0{,}4 \cdot 0{,}05 = 0{,}012 + 0{,}02 = 0{,}032$.

Xem bài: Công thức Bayes

Ví dụ khác

Ví dụ 2: thời tiết

$P(\text{mưa}) = 0{,}3$. Nếu mưa, xác suất kẹt xe là $0{,}7$; nếu không mưa là $0{,}2$. $P(\text{kẹt xe}) = 0{,}3 \cdot 0{,}7 + 0{,}7 \cdot 0{,}2 = 0{,}21 + 0{,}14 = 0{,}35$.

Ví dụ 3: hai hộp

Hộp I có $3$ bi đỏ $2$ bi xanh, hộp II có $1$ bi đỏ $4$ bi xanh. Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi lấy một bi. Xác suất bi đỏ: $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{5}$.

Xem bài: Bài toán thực tế về xác suất có điều kiện

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

$P(B) = 0{,}5$, $P(A|B) = 0{,}4$, $P(A|\overline{B}) = 0{,}2$. Tính $P(A)$.
Máy I $70\%$ lỗi $1\%$; máy II $30\%$ lỗi $4\%$. Tính xác suất sản phẩm lỗi.
Hộp I: $2$ đỏ $3$ xanh; hộp II: $4$ đỏ $1$ xanh. Chọn ngẫu nhiên hộp rồi lấy bi, tính xác suất bi đỏ.
$P(\text{mưa}) = 0{,}4$, $P(\text{trễ}|\text{mưa}) = 0{,}5$, $P(\text{trễ}|\text{không mưa}) = 0{,}1$. Tính $P(\text{trễ})$.
Công thức này dùng khi nào?

Đáp án

$0{,}5 \cdot 0{,}4 + 0{,}5 \cdot 0{,}2 = 0{,}3$.
$0{,}7 \cdot 0{,}01 + 0{,}3 \cdot 0{,}04 = 0{,}007 + 0{,}012 = 0{,}019$.
$\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{3}{5}$.
$0{,}4 \cdot 0{,}5 + 0{,}6 \cdot 0{,}1 = 0{,}26$.
Khi $A$ xảy ra qua nhiều trường hợp loại trừ nhau.