Biến cố độc lập và xác suất có điều kiện: điều kiện P(AB) = P(A)P(B), ví dụ và bài tập có đáp án Toán 12

Biến cố độc lập và xác suất có điều kiện liên hệ qua: A và B độc lập khi P(A|B) = P(A) hay P(AB) = P(A)·P(B). Cách kiểm tra tính độc lập, ví dụ hai xạ thủ, tung đồng xu, lấy bi có hoàn lại và bài tập có đáp án Toán lớp 12.

Biến cố độc lập và xác suất có điều kiện: điều kiện P(AB) = P(A)P(B), ví dụ và bài tập có đáp án Toán 12

Biến cố độc lập và xác suất có điều kiện

Biến cố độc lập và xác suất có điều kiện gắn chặt với nhau: hai biến cố $A$, $B$ (với $P(B) > 0$) độc lập khi và chỉ khi $P(A|B) = P(A)$, tương đương $P(AB) = P(A) \cdot P(B)$. Nghĩa là việc $B$ xảy ra không làm thay đổi xác suất của $A$.

Điều kiện độc lập

Ví dụ 1: tung hai đồng xu

$A$: đồng xu thứ nhất sấp; $B$: đồng xu thứ hai sấp. $P(A) = P(B) = \dfrac{1}{2}$, $P(AB) = \dfrac{1}{4} = P(A) \cdot P(B)$ nên độc lập.

Ví dụ 2: hai xạ thủ

Xạ thủ I bắn trúng với xác suất $0{,}8$, xạ thủ II với $0{,}7$ (độc lập). Cả hai cùng trúng: $0{,}8 \cdot 0{,}7 = 0{,}56$. Ít nhất một người trúng: $1 - 0{,}2 \cdot 0{,}3 = 0{,}94$.

Xem bài: Công thức nhân xác suất

Phụ thuộc và độc lập khi lấy bi

Ví dụ 3: không hoàn lại

Hộp $5$ đỏ, $3$ xanh. $A$: bi đầu đỏ; $B$: bi sau đỏ. $P(B|A) = \dfrac{4}{7} \neq P(B) = \dfrac{5}{8}$ nên không độc lập.

Ví dụ 4: có hoàn lại

Lấy có hoàn lại: $P(B|A) = \dfrac{5}{8} = P(B)$ nên độc lập.

Xem bài: Công thức xác suất toàn phần

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

  1. $P(A) = 0{,}5$, $P(B) = 0{,}4$, $P(AB) = 0{,}2$. $A$, $B$ có độc lập không?
  2. Hai xạ thủ bắn trúng với xác suất $0{,}9$ và $0{,}6$. Tính xác suất cả hai cùng trúng.
  3. Với hai xạ thủ ở câu 2, tính xác suất ít nhất một người trúng.
  4. $A$, $B$ độc lập, $P(A) = 0{,}3$, $P(B) = 0{,}5$. Tính $P(AB)$.
  5. Lấy hai bi không hoàn lại thì hai lần lấy có độc lập không?

Đáp án

  1. $0{,}5 \cdot 0{,}4 = 0{,}2 = P(AB)$: độc lập.
  2. $0{,}9 \cdot 0{,}6 = 0{,}54$.
  3. $1 - 0{,}1 \cdot 0{,}4 = 0{,}96$.
  4. $0{,}15$.
  5. Không độc lập.

Tổng kết

Bài học liên quan

Bài trước: Công thức nhân xác suất

Bài tiếp theo: Công thức xác suất toàn phần

Xem tất cả bài học chủ điểm Xác suất có điều kiện

Câu hỏi thường gặp

Hai biến cố độc lập khi nào?

Khi $P(AB) = P(A) \cdot P(B)$.

Liên hệ với xác suất có điều kiện?

Độc lập khi $P(A|B) = P(A)$.

Lấy không hoàn lại có độc lập không?

Không, các lần lấy phụ thuộc nhau.

Xung khắc có phải độc lập không?

Nói chung không.