Công thức nhân xác suất: P(AB) = P(B)·P(A|B), cây xác suất, ví dụ và bài tập có đáp án Toán 12

Công thức nhân xác suất cho hai biến cố bất kì là P(AB) = P(B)·P(A|B) = P(A)·P(B|A). Cách mở rộng cho ba biến cố, dùng sơ đồ cây xác suất, ví dụ lấy bi không hoàn lại và bài tập có đáp án Toán lớp 12.

$Công thức nhân xác suất: P(AB) = P(B)·P(A|B), cây xác suất, ví dụ và bài tập có đáp án Toán 12$

Công thức nhân xác suất

Công thức nhân xác suất suy ra từ định nghĩa xác suất có điều kiện: với hai biến cố bất kì $A$, $B$ thì $P(AB) = P(B) \cdot P(A|B) = P(A) \cdot P(B|A)$. Công thức này dùng để tính xác suất hai biến cố cùng xảy ra, đặc biệt khi các biến cố xảy ra theo thứ tự.

Công thức và ví dụ

Ví dụ 1

Hộp $5$ bi đỏ, $3$ bi xanh. Lấy lần lượt $2$ bi không hoàn lại. Xác suất cả hai bi đỏ: $P = \dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{4}{7} = \dfrac{20}{56} = \dfrac{5}{14}$.

Ví dụ 2: ba lần lấy

Cùng hộp trên, lấy $3$ bi không hoàn lại, cả ba đỏ: $\dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{3}{6} = \dfrac{60}{336} = \dfrac{5}{28}$.

Xem bài: Xác suất có điều kiện

Sơ đồ cây xác suất

Vẽ mỗi bước thành các nhánh, ghi xác suất lên nhánh. Xác suất của một đường đi bằng tích các xác suất trên đường đó.

Ví dụ 3

Cùng hộp (5 đỏ, 3 xanh), lấy hai bi không hoàn lại. Đường (Đ, X): $\dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{3}{7} = \dfrac{15}{56}$; (X, Đ): $\dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{5}{7} = \dfrac{15}{56}$; (X, X): $\dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{2}{7} = \dfrac{6}{56}$. Xác suất hai bi khác màu: $\dfrac{15}{56} + \dfrac{15}{56} = \dfrac{30}{56} = \dfrac{15}{28}$.

Xem bài: Công thức xác suất toàn phần

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Cho $P(B) = 0{,}4$, $P(A|B) = 0{,}5$. Tính $P(AB)$.
Hộp $4$ bi đỏ, $2$ bi xanh. Lấy hai bi không hoàn lại, tính xác suất cả hai đỏ.
Với hộp ở câu 2, tính xác suất bi đầu xanh, bi sau đỏ.
Với hộp ở câu 2, tính xác suất hai bi khác màu.
Rút lần lượt $2$ lá bài từ bộ $52$ lá, xác suất cả hai là Át (có $4$ Át).

Đáp án

$0{,}4 \cdot 0{,}5 = 0{,}2$.
$\dfrac{4}{6} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{5}$.
$\dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{4}{15}$.
$\dfrac{4}{6} \cdot \dfrac{2}{5} + \dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{16}{30} = \dfrac{8}{15}$.
$\dfrac{4}{52} \cdot \dfrac{3}{51} = \dfrac{1}{221}$.