Công thức Bayes: P(B|A) = P(B)P(A|B)/P(A), cách dùng, ví dụ xét nghiệm và bài tập có đáp án Toán 12

$Công thức Bayes: P(B|A) = P(B)P(A|B)/P(A), cách dùng, ví dụ xét nghiệm và bài tập có đáp án Toán 12$

Công thức Bayes

Công thức Bayes cho phép đảo chiều điều kiện: biết $P(A|B)$ để tính $P(B|A)$. Với $B$ và $\overline{B}$ chia không gian mẫu, $P(B|A) = \dfrac{P(B) \cdot P(A|B)}{P(B) \cdot P(A|B) + P(\overline{B}) \cdot P(A|\overline{B})}$, trong đó mẫu số là xác suất toàn phần của $A$.

Công thức và các bước

Gọi $B$ là 'nguyên nhân' cần xét, $A$ là kết quả quan sát được.
Tính $P(A)$ bằng công thức xác suất toàn phần.
Tính $P(B|A) = \dfrac{P(B) \cdot P(A|B)}{P(A)}$.

Ví dụ 1: hai máy

Máy I làm $60\%$ sản phẩm lỗi $2\%$; máy II làm $40\%$ lỗi $5\%$. $P(\text{lỗi}) = 0{,}032$. Biết sản phẩm lỗi, xác suất do máy I: $\dfrac{0{,}6 \cdot 0{,}02}{0{,}032} = \dfrac{0{,}012}{0{,}032} = \dfrac{3}{8} = 0{,}375$.

Xem bài: Công thức xác suất toàn phần

Ví dụ xét nghiệm

Ví dụ 2

Tỉ lệ mắc bệnh là $1\%$. Xét nghiệm dương tính với người bệnh $95\%$, với người không bệnh $5\%$ (dương tính giả). $P(+) = 0{,}01 \cdot 0{,}95 + 0{,}99 \cdot 0{,}05 = 0{,}0095 + 0{,}0495 = 0{,}059$. Biết kết quả dương tính, xác suất thật sự mắc bệnh: $\dfrac{0{,}0095}{0{,}059} = \dfrac{19}{118} \approx 0{,}161$.

Dù xét nghiệm khá chính xác, vì bệnh hiếm nên xác suất mắc bệnh khi dương tính chỉ khoảng $16\%$.

Xem bài: Bài toán thực tế về xác suất có điều kiện

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Máy I $70\%$ lỗi $1\%$; máy II $30\%$ lỗi $4\%$. Biết sản phẩm lỗi, xác suất do máy II.
$P(B) = 0{,}5$, $P(A|B) = 0{,}8$, $P(A|\overline{B}) = 0{,}2$. Tính $P(B|A)$.
Có $2$ hộp: hộp I $3$ đỏ $1$ xanh, hộp II $1$ đỏ $3$ xanh. Chọn hộp ngẫu nhiên, lấy bi đỏ. Xác suất từ hộp I.
Vì sao $P(B|A) \neq P(A|B)$ nói chung?
Mẫu số của công thức Bayes là gì?

Đáp án

$P(\text{lỗi}) = 0{,}019$; $\dfrac{0{,}3 \cdot 0{,}04}{0{,}019} = \dfrac{0{,}012}{0{,}019} = \dfrac{12}{19} \approx 0{,}63$.
$P(A) = 0{,}5$; $P(B|A) = \dfrac{0{,}4}{0{,}5} = 0{,}8$.
$P(\text{đỏ}) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$; kết quả $\dfrac{3/8}{1/2} = \dfrac{3}{4}$.
Vì hai xác suất có điều kiện và mẫu số khác nhau.
Xác suất toàn phần $P(A)$.