Cách cho một dãy số: công thức số hạng tổng quát, công thức truy hồi, mô tả và bài tập có đáp án
Cách cho một dãy số gồm bốn cách: liệt kê các số hạng, công thức của số hạng tổng quát, công thức truy hồi và mô tả bằng lời. Ví dụ dãy Fibonacci, cách chuyển giữa các cách cho, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án Toán 11.
Các cách cho một dãy số
Cách cho một dãy số có bốn dạng thường gặp: liệt kê các số hạng, cho bởi công thức của số hạng tổng quát, cho bởi công thức truy hồi và mô tả bằng lời. Hai cách quan trọng nhất là công thức của số hạng tổng quát và công thức truy hồi.
Cho bởi công thức của số hạng tổng quát
Công thức cho $u_n$ theo $n$ cho phép tính trực tiếp mọi số hạng.
Ví dụ
$u_n = \dfrac{n}{n^2 + 1}$: $u_1 = \dfrac{1}{2}$, $u_2 = \dfrac{2}{5}$, $u_3 = \dfrac{3}{10}$.
Cho bởi công thức truy hồi
Ví dụ 1
$u_1 = 3$, $u_{n+1} = u_n + 2$: $3, 5, 7, 9, \ldots$ (suy ra $u_n = 2n + 1$).
Ví dụ 2: dãy Fibonacci
$u_1 = 1$, $u_2 = 1$, $u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$: $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$
Mỗi số hạng là tổng hai số hạng liền trước.
Ví dụ 3
$u_1 = 2$, $u_{n+1} = 3u_n$: $2, 6, 18, 54, \ldots$ (suy ra $u_n = 2 \cdot 3^{n-1}$).
Liệt kê và mô tả bằng lời
- Liệt kê: $2, 4, 6, 8, 10$ (chỉ dùng được với dãy hữu hạn hoặc dễ nhận ra quy luật).
- Mô tả: "Dãy các số nguyên tố theo thứ tự tăng dần": $2, 3, 5, 7, 11, \ldots$
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Viết $5$ số hạng đầu của dãy $u_1 = 2$, $u_{n+1} = u_n + 3$.
- Viết $5$ số hạng đầu của dãy $u_1 = 1$, $u_{n+1} = 2u_n + 1$.
- Dãy $1, 1, 2, 3, 5, 8$ cho theo công thức nào?
- Từ $u_1 = 5$, $u_{n+1} = u_n - 2$ viết công thức của $u_n$.
- Cho $u_n = n^2 - 2n$. Tính $u_5$.
Đáp án
- $2, 5, 8, 11, 14$.
- $1, 3, 7, 15, 31$.
- $u_1 = u_2 = 1$, $u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$ (dãy Fibonacci).
- $u_n = 5 - 2(n - 1) = 7 - 2n$.
- $u_5 = 25 - 10 = 15$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài tiếp theo: Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn
Xem tất cả bài học chủ điểm Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân
Câu hỏi thường gặp
Có những cách nào cho một dãy số?
Liệt kê, công thức tổng quát, công thức truy hồi và mô tả bằng lời.
Công thức truy hồi là gì?
Là hệ thức biểu diễn một số hạng qua các số hạng đứng trước, kèm số hạng đầu.
Dãy Fibonacci cho bằng công thức nào?
$u_1 = u_2 = 1$, $u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$.
Có thể đổi từ truy hồi sang tổng quát không?
Có, đối với cấp số cộng và cấp số nhân.