Cấp số cộng: định nghĩa, công sai, tính chất ba số hạng liên tiếp và bài tập có đáp án Toán 11
Cấp số cộng là dãy số mà mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai bằng số hạng đứng trước cộng với một số d không đổi gọi là công sai. Định nghĩa, cách nhận biết, tính chất, ví dụ, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án Toán lớp 11.
Cấp số cộng là gì?
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số $d$ không đổi: $u_{n+1} = u_n + d$ với mọi $n \geq 1$. Số $d$ gọi là công sai của cấp số cộng.
Định nghĩa và cách nhận biết
Ví dụ
$2, 5, 8, 11, 14$ là cấp số cộng với $d = 3$.
$10, 7, 4, 1, -2$ là cấp số cộng với $d = -3$.
$1, 2, 4, 8$ không là cấp số cộng (hiệu không đổi).
Kiểm tra hiệu hai số hạng liên tiếp có không đổi không.
Xem bài: Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn
Tính chất
Ví dụ
Ba số $a$, $b$, $c$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng $\Leftrightarrow$ $a + c = 2b$.
Tìm $x$ để $1$, $x$, $9$ là cấp số cộng: $2x = 10 \Rightarrow x = 5$.
Xem bài: Số hạng tổng quát của cấp số cộng
Tính chất tăng, giảm
- $d > 0$: cấp số cộng là dãy tăng.
- $d < 0$: cấp số cộng là dãy giảm.
- $d = 0$: cấp số cộng là dãy không đổi.
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Dãy $5, 9, 13, 17$ có là cấp số cộng không? Công sai bao nhiêu?
- Tìm $x$ để $x - 1$, $3x$, $4x + 2$ lập thành cấp số cộng.
- Cho cấp số cộng $u_1 = 2$, $d = 5$. Viết $5$ số hạng đầu.
- Ba số $a$, $4$, $10$ lập thành cấp số cộng. Tìm $a$.
- Cấp số cộng có $d = -2$ là dãy tăng hay giảm?
Đáp án
- Có, $d = 4$.
- $2 \cdot 3x = (x - 1) + (4x + 2) \Rightarrow 6x = 5x + 1 \Rightarrow x = 1$.
- $2, 7, 12, 17, 22$.
- $a + 10 = 8 \Rightarrow a = -2$.
- Dãy giảm.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn
Bài tiếp theo: Số hạng tổng quát của cấp số cộng
Xem tất cả bài học chủ điểm Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân
Câu hỏi thường gặp
Cấp số cộng là gì?
Là dãy số mà mỗi số hạng bằng số hạng đứng trước cộng với một số không đổi $d$.
Công sai là gì?
Là hiệu $d = u_{n+1} - u_n$ không đổi.
Tính chất của cấp số cộng?
Mỗi số hạng (trừ đầu và cuối) là trung bình cộng của hai số hạng kề nó.
Điều kiện để ba số lập thành cấp số cộng?
$a + c = 2b$.