Số hạng tổng quát của cấp số cộng: công thức uₙ = u₁ + (n − 1)d, cách tìm và bài tập có đáp án
Số hạng tổng quát của cấp số cộng có số hạng đầu u₁ và công sai d là uₙ = u₁ + (n − 1)·d. Cách tìm u₁ và d từ hai số hạng, kiểm tra một số có thuộc cấp số cộng, ví dụ chi tiết, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án Toán 11.
Số hạng tổng quát của cấp số cộng
Số hạng tổng quát của cấp số cộng có số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ được cho bởi công thức $u_n = u_1 + (n - 1)d$. Công thức này cho phép tính bất kì số hạng nào mà không cần tính các số hạng trước đó.
Công thức và ví dụ
Ví dụ 1
Cấp số cộng $u_1 = 3$, $d = 4$: $u_{10} = 3 + 9 \cdot 4 = 39$.
Ví dụ 2: tìm công sai
Cấp số cộng có $u_1 = 2$, $u_5 = 18$: $18 = 2 + 4d \Rightarrow d = 4$.
Ví dụ 3: tìm vị trí
Số $99$ là số hạng thứ mấy của cấp số cộng $3, 7, 11, \ldots$? $d = 4$: $3 + (n - 1) \cdot 4 = 99 \Rightarrow n = 25$.
Tìm hai yếu tố từ hệ
Ví dụ
Cho $u_3 = 7$, $u_7 = 19$. Tìm $u_1$ và $d$.
$u_7 - u_3 = 4d = 12 \Rightarrow d = 3$. $u_1 = u_3 - 2d = 1$.
Suy ra $u_n = 1 + 3(n - 1) = 3n - 2$.
Dùng $u_n = u_m + (n - m)d$ để tính nhanh hiệu.
Kiểm tra một số có thuộc cấp số cộng
Ví dụ
Số $50$ có thuộc cấp số cộng $u_n = 3n - 2$ không? $3n - 2 = 50 \Rightarrow n = \dfrac{52}{3}$ không nguyên nên không thuộc.
Nghiệm $n$ phải là số nguyên dương.
Xem bài: Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Cấp số cộng $u_1 = -2$, $d = 3$. Tính $u_{20}$.
- Cấp số cộng có $u_4 = 10$, $u_9 = 25$. Tìm $u_1$, $d$.
- Số $101$ là số hạng thứ mấy của cấp số cộng $5, 9, 13, \ldots$?
- Cấp số cộng có $u_1 = 10$, $d = -2$. Số hạng nào bằng $-6$?
- Viết công thức $u_n$ của cấp số cộng $7, 10, 13, \ldots$
Đáp án
- $u_{20} = -2 + 19 \cdot 3 = 55$.
- $5d = 15 \Rightarrow d = 3$; $u_1 = 10 - 9 = 1$.
- $5 + 4(n - 1) = 101 \Rightarrow n = 25$.
- $10 - 2(n - 1) = -6 \Rightarrow n = 9$.
- $u_n = 7 + 3(n - 1) = 3n + 4$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài tiếp theo: Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng
Xem tất cả bài học chủ điểm Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân
Câu hỏi thường gặp
Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng?
$u_n = u_1 + (n - 1)d$.
Làm sao tìm công sai khi biết hai số hạng?
$d = \dfrac{u_n - u_m}{n - m}$.
Làm sao biết một số có thuộc cấp số cộng?
Giải phương trình $u_n = $ số đó, thấy $n$ nguyên dương thì thuộc.
Vì sao dùng $n - 1$?
Vì từ $u_1$ đến $u_n$ có $n - 1$ bước, mỗi bước cộng $d$.