Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng: công thức Sₙ, ví dụ tính tổng và bài tập có đáp án Toán lớp 11

Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng là Sₙ = n(u₁ + uₙ)/2 = n[2u₁ + (n − 1)d]/2. Công thức, cách chứng minh, ví dụ tính 1 + 2 + ... + 100, tổng các số lẻ, tìm n khi biết tổng, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án.

$Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng: công thức Sₙ, ví dụ tính tổng và bài tập có đáp án Toán lớp 11$

Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng $(u_n)$, kí hiệu $S_n = u_1 + u_2 + \cdots + u_n$, được tính bằng công thức $S_n = \dfrac{n(u_1 + u_n)}{2} = \dfrac{n[2u_1 + (n - 1)d]}{2}$. Ý tưởng bắt nguồn từ cách cộng của Gauss: ghép đôi số đầu với số cuối.

Công thức

Chứng minh: viết $S_n$ theo hai thứ tự $S_n = u_1 + u_2 + \cdots + u_n$ và $S_n = u_n + u_{n-1} + \cdots + u_1$, cộng từng cặp: mỗi cặp $u_k + u_{n-k+1} = u_1 + u_n$ nên $2S_n = n(u_1 + u_n)$.

Xem bài: Số hạng tổng quát của cấp số cộng

Ví dụ

Ví dụ 1

$1 + 2 + \cdots + 100$: $u_1 = 1$, $u_{100} = 100$ nên $S_{100} = \dfrac{100 \cdot 101}{2} = 5050$.

Ví dụ 2

Cấp số cộng $u_1 = 2$, $d = 3$, $n = 10$: $S_{10} = \dfrac{10[4 + 27]}{2} = 155$.

Ví dụ 3: tổng các số lẻ

$1 + 3 + 5 + \cdots + 99$ có $50$ số hạng: $S_{50} = \dfrac{50 \cdot (1 + 99)}{2} = 2500 = 50^2$.

Ví dụ 4: tìm $n$

Cấp số cộng $u_1 = 5$, $d = 2$ có $S_n = 140$: $\dfrac{n[10 + 2(n - 1)]}{2} = 140 \Rightarrow n^2 + 4n - 140 = 0 \Rightarrow n = 10$.

Xem bài: Cấp số nhân

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Tính $2 + 4 + 6 + \cdots + 100$.
Cấp số cộng $u_1 = 3$, $d = 4$. Tính $S_{12}$.
Tính $1 + 4 + 7 + \cdots + 100$.
Cấp số cộng $u_1 = 1$, $d = 2$ có $S_n = 81$. Tìm $n$.
Tính tổng $20$ số hạng đầu của cấp số cộng $u_n = 3n - 1$.

Đáp án

$50$ số hạng: $S = \dfrac{50 \cdot (2 + 100)}{2} = 2550$.
$S_{12} = \dfrac{12[6 + 11 \cdot 4]}{2} = 300$.
$u_n = 3n - 2 = 100 \Rightarrow n = 34$: $S_{34} = \dfrac{34 \cdot 101}{2} = 1717$.
$S_n = n^2 = 81 \Rightarrow n = 9$.
$u_1 = 2$, $u_{20} = 59$: $S_{20} = \dfrac{20 \cdot 61}{2} = 610$.