Cấp số nhân: định nghĩa, công bội, tính chất ba số hạng liên tiếp và bài tập có đáp án Toán 11
Cấp số nhân là dãy số mà mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai bằng số hạng đứng trước nhân với một số q không đổi gọi là công bội. Định nghĩa, cách nhận biết, tính chất uₖ² = uₖ₋₁·uₖ₊₁, ví dụ, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án.
Cấp số nhân là gì?
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số $q$ không đổi: $u_{n+1} = u_n \cdot q$ với mọi $n \geq 1$. Số $q$ gọi là công bội của cấp số nhân.
Định nghĩa và cách nhận biết
Ví dụ
$2, 6, 18, 54$ là cấp số nhân với $q = 3$.
$16, 8, 4, 2$ là cấp số nhân với $q = \dfrac{1}{2}$.
$3, -6, 12, -24$ là cấp số nhân với $q = -2$.
$1, 2, 4, 7$ không là cấp số nhân.
Kiểm tra tỉ số hai số hạng liên tiếp có không đổi không.
Xem bài: Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng
Tính chất
Ví dụ
Ba số $a$, $b$, $c$ (theo thứ tự) lập thành cấp số nhân $\Leftrightarrow$ $b^2 = ac$.
Tìm $x$ để $2$, $x$, $18$ là cấp số nhân: $x^2 = 36 \Rightarrow x = \pm 6$.
Xem bài: Số hạng tổng quát của cấp số nhân
Các trường hợp đặc biệt
- $q = 1$: cấp số nhân là dãy hằng.
- $q = 0$: từ số hạng thứ hai trở đi đều bằng $0$.
- $q < 0$: các số hạng đan dấu.
- $u_1 = 0$: mọi số hạng bằng $0$.
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Dãy $3, 12, 48, 192$ có là cấp số nhân không? Công bội bao nhiêu?
- Tìm $x$ để $x$, $6$, $12$ lập thành cấp số nhân.
- Cho cấp số nhân $u_1 = 5$, $q = 2$. Viết $5$ số hạng đầu.
- Ba số $4$, $x$, $25$ lập thành cấp số nhân. Tìm $x$.
- Cấp số nhân có $q = -1$ gồm các số hạng như thế nào khi $u_1 = 3$?
Đáp án
- Có, $q = 4$.
- $6^2 = 12x \Rightarrow x = 3$.
- $5, 10, 20, 40, 80$.
- $x^2 = 100 \Rightarrow x = \pm 10$.
- $3, -3, 3, -3, \ldots$ (đan dấu).
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng
Bài tiếp theo: Số hạng tổng quát của cấp số nhân
Xem tất cả bài học chủ điểm Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân
Câu hỏi thường gặp
Cấp số nhân là gì?
Là dãy số mà mỗi số hạng bằng số hạng đứng trước nhân với một số không đổi $q$.
Công bội là gì?
Là tỉ số $q = \dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ không đổi.
Tính chất của cấp số nhân?
$u_k^2 = u_{k-1}u_{k+1}$.
Điều kiện ba số lập thành cấp số nhân?
$b^2 = ac$.