Số hạng tổng quát của cấp số nhân: công thức uₙ = u₁·qⁿ⁻¹, cách tìm và bài tập có đáp án Toán 11
Số hạng tổng quát của cấp số nhân có số hạng đầu u₁ và công bội q là uₙ = u₁·qⁿ⁻¹. Cách tìm q từ hai số hạng, tìm số hạng thứ n, tìm vị trí của một số, ví dụ chi tiết, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án Toán lớp 11.
Số hạng tổng quát của cấp số nhân
Số hạng tổng quát của cấp số nhân có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ được cho bởi công thức $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$. Công thức này cho phép tính trực tiếp bất kì số hạng nào của cấp số nhân.
Công thức và ví dụ
Ví dụ 1
Cấp số nhân $u_1 = 2$, $q = 3$: $u_5 = 2 \cdot 3^4 = 162$.
Ví dụ 2: tìm công bội
Cấp số nhân có $u_1 = 1$, $u_4 = 8$: $8 = 1 \cdot q^3 \Rightarrow q = 2$.
Ví dụ 3: tìm vị trí
Số $1\,458$ là số hạng thứ mấy của cấp số nhân $2, 6, 18, \ldots$? $2 \cdot 3^{n-1} = 1458 \Rightarrow 3^{n-1} = 729 = 3^6 \Rightarrow n = 7$.
Tìm các yếu tố từ hệ
Ví dụ
Cho $u_2 = 6$, $u_5 = 48$. Tìm $u_1$ và $q$.
$q^3 = \dfrac{u_5}{u_2} = 8 \Rightarrow q = 2$. $u_1 = \dfrac{u_2}{q} = 3$.
Suy ra $u_n = 3 \cdot 2^{n-1}$.
Lập tỉ số hai số hạng để triệt $u_1$.
Xem bài: Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân
So sánh với cấp số cộng
| Nội dung | Cấp số cộng | Cấp số nhân |
|---|---|---|
| Quan hệ | $u_{n+1} = u_n + d$ | $u_{n+1} = u_n q$ |
| Số hạng tổng quát | $u_n = u_1 + (n - 1)d$ | $u_n = u_1 q^{n-1}$ |
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Cấp số nhân $u_1 = 3$, $q = 2$. Tính $u_6$.
- Cấp số nhân $u_1 = 81$, $q = \dfrac{1}{3}$. Tính $u_5$.
- Cấp số nhân có $u_1 = 2$, $u_3 = 18$ và công bội dương. Tìm $q$.
- Số $512$ là số hạng thứ mấy của cấp số nhân $1, 2, 4, \ldots$?
- Viết công thức $u_n$ của cấp số nhân $5, -10, 20, \ldots$
Đáp án
- $u_6 = 3 \cdot 32 = 96$.
- $u_5 = 81 \cdot \dfrac{1}{81} = 1$.
- $q^2 = 9 \Rightarrow q = 3$.
- $2^{n-1} = 512 = 2^9 \Rightarrow n = 10$.
- $q = -2$: $u_n = 5 \cdot (-2)^{n-1}$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài tiếp theo: Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân
Xem tất cả bài học chủ điểm Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân
Câu hỏi thường gặp
Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân?
$u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$.
Tìm công bội khi biết hai số hạng thế nào?
$q^{n-m} = \dfrac{u_n}{u_m}$.
Số hạng thứ $n$ phụ thuộc $q$ ra sao?
Là $q$ lũy thừa $n - 1$ nhân với $u_1$.
Khi $|q| > 1$ các số hạng thế nào?
Độ lớn tăng nhanh theo $n$.