Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân: công thức Sₙ = u₁(1 − qⁿ)/(1 − q) và bài tập có đáp án Toán 11
Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân có công bội q khác 1 là Sₙ = u₁(1 − qⁿ)/(1 − q); khi q = 1 thì Sₙ = n·u₁. Công thức, cách chứng minh, ví dụ tính 1 + 2 + 4 + ... + 2⁹, tìm n khi biết tổng, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án.
Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân
Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân $(u_n)$ với công bội $q \neq 1$ được tính bằng công thức $S_n = u_1 + u_2 + \cdots + u_n = \dfrac{u_1(1 - q^n)}{1 - q}$. Khi $q = 1$ thì mọi số hạng bằng $u_1$ nên $S_n = n u_1$.
Công thức
Chứng minh: $S_n = u_1(1 + q + \cdots + q^{n-1})$ và $qS_n - S_n = u_1(q^n - 1)$ nên $S_n(q - 1) = u_1(q^n - 1)$.
Xem bài: Số hạng tổng quát của cấp số nhân
Ví dụ
Ví dụ 1
$1 + 2 + 4 + \cdots + 2^9$: $u_1 = 1$, $q = 2$, $n = 10$.
$S_{10} = \dfrac{1(1 - 2^{10})}{1 - 2} = 2^{10} - 1 = 1023$.
Ví dụ 2
Cấp số nhân $u_1 = 3$, $q = 2$, $n = 5$: $S_5 = \dfrac{3(1 - 32)}{1 - 2} = 93$.
Ví dụ 3
Cấp số nhân $u_1 = 81$, $q = \dfrac{1}{3}$, $n = 4$: $S_4 = \dfrac{81\left(1 - \frac{1}{81}\right)}{1 - \frac{1}{3}} = 120$.
Ví dụ 4: tìm $n$
Cấp số nhân $u_1 = 1$, $q = 3$ có $S_n = 364$: $\dfrac{3^n - 1}{2} = 364 \Rightarrow 3^n = 729 \Rightarrow n = 6$.
Xem bài: Bài toán thực tế về cấp số cộng và cấp số nhân
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tính $1 + 3 + 9 + 27 + 81$.
- Cấp số nhân $u_1 = 2$, $q = 2$. Tính $S_8$.
- Cấp số nhân $u_1 = 5$, $q = 1$. Tính $S_{10}$.
- Cấp số nhân $u_1 = 1$, $q = 2$ có $S_n = 255$. Tìm $n$.
- Cấp số nhân $u_1 = 4$, $q = -1$. Tính $S_{5}$.
Đáp án
- $u_1 = 1$, $q = 3$, $n = 5$: $S = \dfrac{3^5 - 1}{2} = 121$.
- $S_8 = 2(2^8 - 1) = 510$.
- $S_{10} = 50$.
- $2^n - 1 = 255 \Rightarrow 2^n = 256 \Rightarrow n = 8$.
- $S_5 = \dfrac{4(1 - (-1)^5)}{1 + 1} = \dfrac{4 \cdot 2}{2} = 4$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Số hạng tổng quát của cấp số nhân
Bài tiếp theo: Bài toán thực tế về cấp số cộng và cấp số nhân
Xem tất cả bài học chủ điểm Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân
Câu hỏi thường gặp
Công thức tổng n số hạng đầu của cấp số nhân?
$S_n = \dfrac{u_1(1 - q^n)}{1 - q}$ với $q \neq 1$.
Khi $q = 1$ thì sao?
Mọi số hạng bằng $u_1$ nên $S_n = n u_1$.
Tìm $n$ khi biết tổng thế nào?
Giải phương trình mũ theo $q^n$.
Khác tổng cấp số cộng ra sao?
Tổng cấp số nhân có lũy thừa của $q$, tổng cấp số cộng có tích $n$ nhân trung bình.