Bài toán thực tế về cấp số cộng và cấp số nhân: lãi kép, tiết kiệm, dân số và bài tập có đáp án
Bài toán thực tế về cấp số cộng và cấp số nhân gồm tiết kiệm tăng đều theo tháng, lãi kép ngân hàng, tăng trưởng dân số và xếp hàng. Cách nhận dạng cấp số, công thức áp dụng, ví dụ có lời giải và bài tập có đáp án Toán 11.
Bài toán thực tế về cấp số cộng và cấp số nhân
Bài toán thực tế về cấp số cộng và cấp số nhân gặp trong tài chính và đời sống: tiết kiệm tăng đều mỗi tháng (cấp số cộng), lãi kép ngân hàng và tăng trưởng dân số theo tỉ lệ phần trăm (cấp số nhân). Mấu chốt là nhận ra đại lượng tăng một lượng cố định hay một tỉ lệ cố định.
Cách nhận dạng
| Đặc điểm | Dạng cấp số | Công thức |
|---|---|---|
| Mỗi kì tăng thêm một lượng cố định | Cấp số cộng | $u_n = u_1 + (n - 1)d$; $S_n = \dfrac{n(u_1 + u_n)}{2}$ |
| Mỗi kì tăng theo một tỉ lệ phần trăm cố định | Cấp số nhân | $u_n = u_1 q^{n-1}$; $S_n = \dfrac{u_1(1 - q^n)}{1 - q}$ |
Xem bài: Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng
Ví dụ 1: tiết kiệm tăng đều
Đề bài
Tháng đầu An để dành $1$ triệu đồng, mỗi tháng sau để dành thêm $0{,}5$ triệu so với tháng trước. Hỏi sau $12$ tháng An tiết kiệm được bao nhiêu?
Lời giải
Đây là cấp số cộng $u_1 = 1$, $d = 0{,}5$, $n = 12$.
$S_{12} = \dfrac{12[2 \cdot 1 + 11 \cdot 0{,}5]}{2} = 6 \cdot 7{,}5 = 45$ triệu đồng.
Ví dụ 2: lãi kép
Đề bài
Gửi $100$ triệu đồng, lãi suất $6\%$/năm theo lãi kép (lãi nhập vào vốn). Tính số tiền sau $3$ năm.
Lời giải
Số tiền cuối mỗi năm là cấp số nhân với công bội $q = 1{,}06$: $A_n = 100 \cdot 1{,}06^n$.
$A_3 = 100 \cdot 1{,}06^3 \approx 119{,}1$ triệu đồng.
Công thức lãi kép: $A = P(1 + r)^n$.
Ví dụ 3: tăng trưởng dân số
Lời giải
Dân số một thị trấn là $10\,000$ người, tăng $2\%$ mỗi năm. Sau $5$ năm: $10\,000 \cdot 1{,}02^5 \approx 11\,041$ người.
Mỗi năm dân số nhân với $1{,}02$ nên là cấp số nhân.
Xem bài: Bài tập tổng hợp dãy số
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tháng đầu để dành $2$ triệu, mỗi tháng sau thêm $1$ triệu. Sau $10$ tháng được bao nhiêu?
- Gửi $50$ triệu, lãi $8\%$/năm lãi kép. Sau $2$ năm có bao nhiêu?
- Dân số tăng $1{,}5\%$ mỗi năm, hiện có $20\,000$ người. Sau $4$ năm khoảng bao nhiêu người?
- Một cầu thang có bậc đầu cao $15$ cm, mỗi bậc sau cao hơn $0{,}5$ cm. Tổng chiều cao $20$ bậc?
- Một quả bóng rơi từ $8$ m, mỗi lần nảy lên bằng $\dfrac{1}{2}$ độ cao trước. Độ cao lần nảy thứ $4$?
Đáp án
- $S_{10} = \dfrac{10[4 + 9 \cdot 1]}{2} = 65$ triệu.
- $50 \cdot 1{,}08^2 = 58{,}32$ triệu.
- $20\,000 \cdot 1{,}015^4 \approx 21\,227$ người.
- $S_{20} = \dfrac{20[30 + 19 \cdot 0{,}5]}{2} = 395$ cm.
- $u_4 = 8 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^4 = 0{,}5$ m.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân
Bài tiếp theo: Bài tập tổng hợp dãy số
Xem tất cả bài học chủ điểm Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân
Câu hỏi thường gặp
Khi nào dùng cấp số cộng trong thực tế?
Khi đại lượng tăng hoặc giảm một lượng cố định mỗi kì.
Khi nào dùng cấp số nhân?
Khi đại lượng thay đổi theo tỉ lệ phần trăm cố định mỗi kì.
Công thức lãi kép là gì?
$A = P(1 + r)^n$.
Công bội của lãi kép là bao nhiêu?
$q = 1 + r$.