Bài tập dãy số lớp 11: dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân tổng hợp có đáp án chi tiết
Bài tập dãy số lớp 11 gồm tóm tắt lí thuyết, bài tập về dãy số, công thức truy hồi, dãy tăng giảm, cấp số cộng, cấp số nhân, tổng n số hạng đầu và bài toán thực tế, kèm đáp án chi tiết để ôn tập Toán 11.
Bài tập dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân tổng hợp
Bài tập dãy số dưới đây tổng hợp toàn bộ chương: khái niệm dãy số, cách cho dãy số, dãy tăng giảm, cấp số cộng, cấp số nhân, tổng n số hạng đầu và bài toán thực tế. Mỗi bài đều có đáp án ở cuối.
Tóm tắt công thức cần nhớ
| Nội dung | Cấp số cộng | Cấp số nhân |
|---|---|---|
| Định nghĩa | $u_{n+1} = u_n + d$ | $u_{n+1} = u_n q$ |
| Số hạng tổng quát | $u_1 + (n - 1)d$ | $u_1 q^{n-1}$ |
| Tổng $n$ số hạng đầu | $\dfrac{n(u_1 + u_n)}{2}$ | $\dfrac{u_1(1 - q^n)}{1 - q}$ |
| Ba số liên tiếp $a, b, c$ | $a + c = 2b$ | $b^2 = ac$ |
Mẹo làm bài
- Nhận dạng cấp số bằng hiệu (cộng) hoặc tỉ số (nhân) hai số hạng liên tiếp.
- Lập hệ hai phương trình theo $u_1$ và $d$ (hoặc $q$) khi cho hai dữ kiện.
- Tìm $n$ từ phương trình rồi kiểm tra $n$ nguyên dương.
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Viết $4$ số hạng đầu của dãy $u_n = \dfrac{n^2 - 1}{n + 1}$.
- Xét tính tăng giảm của $u_n = \dfrac{3n - 1}{n + 2}$.
- Cấp số cộng $u_1 = 4$, $d = 3$. Tính $u_{15}$ và $S_{15}$.
- Cấp số cộng có $u_3 = 8$, $u_8 = 23$. Tìm $u_1$ và $d$.
- Tìm $x$ để $x$, $x + 3$, $x + 9$ lập thành cấp số nhân.
- Cấp số nhân $u_1 = 2$, $q = 3$. Tính $u_6$ và $S_6$.
- Cấp số nhân có $u_2 = 6$, $u_5 = 162$. Tìm $u_1$ và $q$.
- Tính $1 + 2 + 3 + \cdots + 200$.
- Tính $2 + 6 + 18 + \cdots + 2 \cdot 3^7$.
- Gửi $200$ triệu, lãi $7\%$/năm lãi kép. Tính số tiền sau $3$ năm.
Đáp án
- $u_n = n - 1$ (rút gọn): $0, 1, 2, 3$.
- $u_{n+1} - u_n = \dfrac{7}{(n+2)(n+3)} > 0$ nên dãy tăng.
- $u_{15} = 4 + 14 \cdot 3 = 46$; $S_{15} = \dfrac{15(4 + 46)}{2} = 375$.
- $5d = 15 \Rightarrow d = 3$; $u_1 = 8 - 6 = 2$.
- $(x + 3)^2 = x(x + 9) \Rightarrow 6x + 9 = 9x \Rightarrow x = 3$ (cấp số $3, 6, 12$).
- $u_6 = 2 \cdot 243 = 486$; $S_6 = \dfrac{2(3^6 - 1)}{2} = 728$.
- $q^3 = 27 \Rightarrow q = 3$; $u_1 = 2$.
- $S = \dfrac{200 \cdot 201}{2} = 20100$.
- $u_1 = 2$, $q = 3$, $n = 8$: $S_8 = \dfrac{2(3^8 - 1)}{2} = 6560$.
- $200 \cdot 1{,}07^3 \approx 245{,}0$ triệu đồng.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Bài toán thực tế về cấp số cộng và cấp số nhân
Xem tất cả bài học chủ điểm Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân
Câu hỏi thường gặp
Chương dãy số gồm những nội dung nào?
Dãy số, cách cho dãy số, dãy tăng giảm, cấp số cộng, cấp số nhân và ứng dụng.
Làm sao nhận ra cấp số cộng hay nhân?
Xét hiệu hoặc tỉ số của hai số hạng liên tiếp.
Đáp án các bài tập ở đâu?
Ngay bên dưới mục Bài tập thực hành.
Có cần học thuộc công thức không?
Có, nhất là số hạng tổng quát và tổng $n$ số hạng đầu.