Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn: định nghĩa, cách xét, ví dụ và bài tập có đáp án
Dãy số tăng, dãy số giảm là dãy có uₙ₊₁ > uₙ hoặc uₙ₊₁ < uₙ với mọi n. Dãy số bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn. Cách xét bằng hiệu uₙ₊₁ − uₙ hoặc tỉ số, ví dụ chi tiết, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án.
Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn
Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn mô tả hình dạng của dãy. Dãy $(u_n)$ gọi là dãy số tăng nếu $u_{n+1} > u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$; gọi là dãy số giảm nếu $u_{n+1} < u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.
Dãy số tăng và dãy số giảm
Ví dụ 1
$u_n = 2n + 1$: $u_{n+1} - u_n = 2 > 0$ nên dãy tăng.
Ví dụ 2
$u_n = \dfrac{1}{n}$: $u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n} = -\dfrac{1}{n(n+1)} < 0$ nên dãy giảm.
Ví dụ 3
$u_n = (-1)^n$: $-1, 1, -1, 1, \ldots$ không tăng, không giảm.
Dãy số bị chặn
| Loại | Điều kiện |
|---|---|
| Bị chặn trên | Tồn tại $M$ sao cho $u_n \leq M$ với mọi $n$ |
| Bị chặn dưới | Tồn tại $m$ sao cho $u_n \geq m$ với mọi $n$ |
| Bị chặn | Vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới: $m \leq u_n \leq M$ |
Ví dụ
$u_n = \dfrac{1}{n}$: $0 < u_n \leq 1$ nên bị chặn.
$u_n = n^2$: bị chặn dưới bởi $1$ nhưng không bị chặn trên.
$u_n = (-1)^n$: $-1 \leq u_n \leq 1$ nên bị chặn.
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Xét tính tăng, giảm của $u_n = n^2 + n$.
- Xét tính tăng, giảm của $u_n = \dfrac{n}{n + 1}$.
- Xét tính bị chặn của $u_n = \dfrac{2n + 1}{n + 2}$.
- Dãy $u_n = (-2)^n$ có tăng hay giảm không?
- Dãy $u_n = 5 - 3n$ tăng hay giảm?
Đáp án
- $u_{n+1} - u_n = 2n + 2 > 0$ nên tăng.
- $u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} > 0$ nên tăng.
- $u_n = 2 - \dfrac{3}{n + 2}$ là dãy tăng, $u_1 = 1$ và $u_n < 2$ nên $1 \leq u_n < 2$: bị chặn.
- Không tăng không giảm vì đan dấu: $-2, 4, -8, 16, \ldots$
- $u_{n+1} - u_n = -3 < 0$ nên giảm.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Cách cho một dãy số
Xem tất cả bài học chủ điểm Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân
Câu hỏi thường gặp
Dãy số tăng là gì?
Là dãy có $u_{n+1} > u_n$ với mọi $n$.
Làm sao xét dãy tăng hay giảm?
Xét dấu của hiệu $u_{n+1} - u_n$.
Dãy số bị chặn là gì?
Là dãy vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.
Mọi dãy số đều tăng hoặc giảm không?
Không, ví dụ $(-1)^n$ không đơn điệu.