Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ: cộng, trừ, nhân với số, cùng phương và bài tập có đáp án
Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ: a + b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂), a − b, k·a và điều kiện hai vectơ cùng phương x₁y₂ − x₂y₁ = 0. Công thức, ví dụ, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án Toán lớp 10.
Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ cho phép cộng, trừ vectơ và nhân vectơ với một số ngay trên tọa độ. Với $\vec{a} = (x_1; y_1)$ và $\vec{b} = (x_2; y_2)$ thì mỗi phép toán thực hiện trên từng thành phần.
Công thức
| Phép toán | Tọa độ |
|---|---|
| Tổng | $\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2; y_1 + y_2)$ |
| Hiệu | $\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2; y_1 - y_2)$ |
| Nhân với số $k$ | $k\vec{a} = (kx_1; ky_1)$ |
| Cùng phương ($\vec{b} \neq \vec{0}$) | $x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0$ |
Ví dụ
Ví dụ 1
$\vec{a} = (2; 3)$, $\vec{b} = (1; -1)$.
$\vec{a} + \vec{b} = (3; 2)$; $\vec{a} - \vec{b} = (1; 4)$; $2\vec{a} = (4; 6)$.
$3\vec{a} - 2\vec{b} = (6 - 2; 9 + 2) = (4; 11)$.
Ví dụ 2: cùng phương
$\vec{a} = (2; 4)$, $\vec{b} = (1; 2)$: $2 \cdot 2 - 1 \cdot 4 = 0$ nên cùng phương (thực ra $\vec{a} = 2\vec{b}$).
Xem bài: Điều kiện để hai vectơ cùng phương
Ứng dụng: phân tích vectơ
Ví dụ
Phân tích $\vec{c} = (7; 3)$ theo $\vec{a} = (1; 2)$, $\vec{b} = (2; -1)$: $\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}$.
$m + 2n = 7$ và $2m - n = 3$ nên $m = \dfrac{13}{5}$, $n = \dfrac{11}{5}$.
Giải hệ hai phương trình theo hoành độ và tung độ.
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Cho $\vec{a} = (1; -2)$, $\vec{b} = (3; 4)$. Tính $\vec{a} + \vec{b}$ và $2\vec{a} - \vec{b}$.
- Hai vectơ $\vec{a} = (3; 6)$ và $\vec{b} = (1; 2)$ có cùng phương không?
- Tìm $m$ để $\vec{a} = (2; m)$ cùng phương với $\vec{b} = (4; 6)$.
- Cho $\vec{a} = (1; 2)$, $\vec{b} = (0; 1)$. Tính $|\vec{a} + 2\vec{b}|$.
- Tìm $\vec{x}$ biết $\vec{x} + (1; 2) = (4; 5)$.
Đáp án
- $\vec{a} + \vec{b} = (4; 2)$; $2\vec{a} - \vec{b} = (-1; -8)$.
- Có, vì $3 \cdot 2 - 1 \cdot 6 = 0$.
- $2 \cdot 6 - 4m = 0 \Leftrightarrow m = 3$.
- $\vec{a} + 2\vec{b} = (1; 4)$, độ dài $\sqrt{17}$.
- $\vec{x} = (3; 3)$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài tiếp theo: Tọa độ của điểm
Xem tất cả bài học chủ điểm Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Câu hỏi thường gặp
Tọa độ tổng hai vectơ tính thế nào?
Cộng từng thành phần tương ứng.
Nhân vectơ với một số ra sao?
Nhân cả hoành độ và tung độ với số đó.
Điều kiện cùng phương bằng tọa độ là gì?
$x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0$.
Có dùng được để phân tích vectơ không?
Có, lập hệ hai phương trình theo hoành độ và tung độ.