Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian: quy tắc ba điểm, hình bình hành, hình hộp và bài tập có đáp án

Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian được xác định bằng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và quy tắc hình hộp tương tự trong mặt phẳng. Vectơ đối, quy tắc hiệu OA − OB = BA, ví dụ trên tứ diện, hình hộp và bài tập có đáp án Toán 12.

$Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian: quy tắc ba điểm, hình bình hành, hình hộp và bài tập có đáp án$

Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian

Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian được định nghĩa và tính chất y như trong mặt phẳng, vì hai vectơ bất kì luôn đồng phẳng. Ta dùng quy tắc ba điểm $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$, quy tắc hình bình hành và thêm quy tắc hình hộp.

Các quy tắc

Quy tắc	Công thức
Ba điểm	$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$
Hình bình hành $ABCD$	$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$
Hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$	$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$
Hiệu	$\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}$
Vectơ đối	$-\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}$

Xem bài: Vectơ trong không gian

Ví dụ

Ví dụ 1

Tứ diện $ABCD$: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}$; $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DA} = \vec{0}$.

Ví dụ 2

Hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$: $\overrightarrow{AC'} - \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{A'C'} = \overrightarrow{AC}$; $\overrightarrow{BD'} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB'}$.

Ví dụ 3

Từ quy tắc hình hộp $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$ suy ra $\overrightarrow{AC'} - \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AA'}$.

Xem bài: Tích của một số với một vectơ trong không gian

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Rút gọn $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}$ trong tứ diện $ABCD$.
Hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Tính $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B'C'} + \overrightarrow{DD'}$.
Hình hộp. Tìm vectơ $\overrightarrow{CB'} - \overrightarrow{CB}$.
Tứ diện $ABCD$. Rút gọn $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AC}$.
Hình hộp. Chứng minh $\overrightarrow{A'C'} = \overrightarrow{AC}$.

Đáp án

$\vec{0}$.
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AC'}$.
$\overrightarrow{BB'}$.
$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AC} = \vec{0}$.
Hai vectơ cùng hướng và bằng nhau vì $ACC'A'$ là hình bình hành.