Tích của một số với một vectơ trong không gian: tính chất, trọng tâm tứ diện, ba vectơ đồng phẳng và bài tập
Tích của một số với một vectơ trong không gian có định nghĩa và tính chất như trong mặt phẳng. Điều kiện cùng phương, hệ thức trung điểm, trọng tâm tứ diện GA + GB + GC + GD = 0, điều kiện ba vectơ đồng phẳng, ví dụ và bài tập có đáp án Toán 12.
Tích của một số với một vectơ trong không gian
Tích của một số với một vectơ trong không gian $k\vec{a}$ có định nghĩa và tính chất giống trong mặt phẳng: cùng hướng với $\vec{a}$ khi $k > 0$, ngược hướng khi $k < 0$, độ dài $|k||\vec{a}|$. Ứng dụng đặc trưng trong không gian là hệ thức trọng tâm tứ diện và điều kiện ba vectơ đồng phẳng.
Các hệ thức thường dùng
- $I$ là trung điểm $AB$: $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$; với mọi $O$: $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OI}$.
- $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$: $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$.
- $G$ là trọng tâm tứ diện $ABCD$: $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \vec{0}$; với mọi $O$: $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = 4\overrightarrow{OG}$.
Xem bài: Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian
Điều kiện cùng phương và đồng phẳng
Ví dụ
Tứ diện $ABCD$, $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $AB$, $CD$, $G$ là trung điểm $MN$. Khi đó $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 2\overrightarrow{GM} + 2\overrightarrow{GN} = \vec{0}$ nên $G$ là trọng tâm tứ diện.
Xem bài: Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- $G$ là trọng tâm tứ diện $ABCD$, $O$ bất kì. Tính $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}$ theo $\overrightarrow{OG}$.
- Ba điểm $A, B, C$ có $\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AC}$. Quan hệ ba điểm?
- Rút gọn $2(\vec{a} + \vec{b}) - 3\vec{a} + \vec{b}$.
- Cho $\vec{c} = 2\vec{a} - \vec{b}$. Ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ có đồng phẳng không?
- $M$ là trung điểm $AB$, $O$ bất kì. Biểu diễn $\overrightarrow{OM}$ theo $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$.
Đáp án
- $4\overrightarrow{OG}$.
- Thẳng hàng, $C$ là trung điểm $AB$.
- $-\vec{a} + 3\vec{b}$.
- Có, vì $\vec{c}$ phân tích theo $\vec{a}$, $\vec{b}$.
- $\overrightarrow{OM} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian
Bài tiếp theo: Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
Xem tất cả bài học chủ điểm Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian
Câu hỏi thường gặp
Tích của một số với một vectơ trong không gian là gì?
Là vectơ $k\vec{a}$ cùng hướng khi $k > 0$ và ngược hướng khi $k < 0$ với độ dài $|k||\vec{a}|$.
Hệ thức trọng tâm tứ diện?
$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \vec{0}$.
Điều kiện ba vectơ đồng phẳng?
$\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}$.
Ba điểm thẳng hàng khi nào?
Khi $\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}$.