Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian: góc giữa hai vectơ, điều kiện vuông góc và bài tập có đáp án
Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian là số a·b = |a|·|b|·cos(a, b), với góc giữa hai vectơ từ 0° đến 180°. Tính chất, điều kiện vuông góc a·b = 0, ví dụ trên hình lập phương, tính góc và độ dài bằng tích vô hướng và bài tập có đáp án Toán 12.
Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khác $\vec{0}$ là số $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b})$, với $(\vec{a}, \vec{b})$ là góc giữa hai vectơ (từ $0^\circ$ đến $180^\circ$). Nếu một trong hai vectơ là $\vec{0}$ thì tích vô hướng bằng $0$.
Tính chất
- Giao hoán: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$.
- Phân phối: $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$.
- $\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2$.
- $\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
Ví dụ trên hình lập phương
Ví dụ 1
Hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$. $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}) = a^2 + 0 + 0 = a^2$.
$|\overrightarrow{AC'}| = a\sqrt{3}$ nên $\cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC'}) = \dfrac{a^2}{a \cdot a\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
Ví dụ 2: vuông góc
$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}) = AD^2 - AB^2 = 0$ nên $AC \perp BD$.
Ví dụ 3: độ dài
$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$. Với $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 3$, $(\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ$: $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 4 + 6 + 9 = 19$.
Xem bài: Hệ trục tọa độ trong không gian
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Hình lập phương cạnh $a$. Tính $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$.
- Cho $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 4$, $\vec{a} \perp \vec{b}$. Tính $|\vec{a} + \vec{b}|$.
- Cho $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$, $(\vec{a}, \vec{b}) = 120^\circ$. Tính $\vec{a} \cdot \vec{b}$.
- Tứ diện đều cạnh $a$. Tính $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$.
- Điều kiện để hai vectơ vuông góc?
Đáp án
- $\overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) = a^2$.
- $\sqrt{9 + 16} = 5$.
- $\cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}$.
- $a \cdot a \cdot \cos 60^\circ = \dfrac{a^2}{2}$.
- Tích vô hướng bằng $0$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Tích của một số với một vectơ trong không gian
Bài tiếp theo: Hệ trục tọa độ trong không gian
Xem tất cả bài học chủ điểm Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian
Câu hỏi thường gặp
Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian là gì?
Là số $|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\vec{a}, \vec{b})$.
Điều kiện hai vectơ vuông góc?
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
Tính góc giữa hai vectơ thế nào?
$\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$.
Tích vô hướng có giao hoán không?
Có.