Hệ trục tọa độ trong không gian Oxyz: ba trục, mặt phẳng tọa độ, tọa độ điểm và bài tập có đáp án Toán 12
Hệ trục tọa độ trong không gian Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc tại gốc O với các vectơ đơn vị i, j, k. Mặt phẳng tọa độ, tọa độ của điểm M(x; y; z) là tọa độ vectơ OM, hình chiếu lên trục và mặt phẳng, ví dụ và bài tập có đáp án.
Hệ trục tọa độ trong không gian
Hệ trục tọa độ trong không gian $Oxyz$ gồm ba trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ đôi một vuông góc và cắt nhau tại gốc $O$. Trên các trục lấy ba vectơ đơn vị $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ có độ dài $1$. Mỗi điểm $M$ trong không gian ứng với bộ ba số $(x; y; z)$ gọi là tọa độ của $M$.
Các thành phần của hệ trục
- Gốc $O(0; 0; 0)$; ba trục $Ox$ (hoành), $Oy$ (tung), $Oz$ (cao).
- Ba mặt phẳng tọa độ: $(Oxy)$, $(Oyz)$, $(Ozx)$ đôi một vuông góc.
- $\vec{i} = (1; 0; 0)$, $\vec{j} = (0; 1; 0)$, $\vec{k} = (0; 0; 1)$.
Xem bài: Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
Điểm đặc biệt
| Điểm | Tọa độ |
|---|---|
| Thuộc trục $Ox$ | $(x; 0; 0)$ |
| Thuộc trục $Oy$ | $(0; y; 0)$ |
| Thuộc trục $Oz$ | $(0; 0; z)$ |
| Thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ | $(x; y; 0)$ |
| Thuộc mặt phẳng $(Oyz)$ | $(0; y; z)$ |
| Thuộc mặt phẳng $(Ozx)$ | $(x; 0; z)$ |
Ví dụ
Điểm $M(2; -1; 3)$ có hình chiếu lên $(Oxy)$ là $(2; -1; 0)$, lên trục $Oz$ là $(0; 0; 3)$.
Hình hộp trong hệ trục
Ví dụ
Hình hộp chữ nhật $OABC.O'A'B'C'$ đặt $A$ trên $Ox$, $C$ trên $Oy$, $O'$ trên $Oz$ với $OA = 3$, $OC = 4$, $OO' = 5$: $A(3; 0; 0)$, $C(0; 4; 0)$, $O'(0; 0; 5)$, $B(3; 4; 0)$, $B'(3; 4; 5)$.
Xem bài: Tọa độ của vectơ trong không gian
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tìm hình chiếu của $M(1; 2; 3)$ lên $(Oyz)$.
- Tìm hình chiếu của $M(1; 2; 3)$ lên trục $Oy$.
- Điểm nào thuộc mặt phẳng $(Ozx)$: $(1; 0; 2)$ hay $(0; 1; 2)$?
- Điểm đối xứng của $M(1; 2; 3)$ qua $(Oxy)$?
- Viết $\overrightarrow{OM}$ với $M(2; -1; 4)$ qua $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$.
Đáp án
- $(0; 2; 3)$.
- $(0; 2; 0)$.
- $(1; 0; 2)$.
- $(1; 2; -3)$.
- $\overrightarrow{OM} = 2\vec{i} - \vec{j} + 4\vec{k}$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
Bài tiếp theo: Tọa độ của vectơ trong không gian
Xem tất cả bài học chủ điểm Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian
Câu hỏi thường gặp
Hệ trục tọa độ trong không gian gồm những gì?
Ba trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ đôi một vuông góc tại $O$ cùng các vectơ đơn vị.
Tọa độ của điểm $M$ là gì?
Bộ ba $(x; y; z)$ sao cho $\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$.
Điểm thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ có dạng gì?
$(x; y; 0)$.
Hình chiếu của $M$ lên trục $Oz$?
$(0; 0; z)$.