Tọa độ của vectơ trong không gian: định nghĩa, vectơ AB, vectơ bằng nhau, độ dài và bài tập có đáp án

Tọa độ của vectơ trong không gian Oxyz là bộ ba số (x; y; z) sao cho a = x·i + y·j + z·k. Cách tính tọa độ vectơ AB bằng hiệu tọa độ điểm cuối và điểm đầu, hai vectơ bằng nhau, độ dài vectơ, ví dụ và bài tập có đáp án Toán lớp 12.

$Tọa độ của vectơ trong không gian: định nghĩa, vectơ AB, vectơ bằng nhau, độ dài và bài tập có đáp án$

Tọa độ của vectơ trong không gian

Tọa độ của vectơ trong không gian $Oxyz$: vectơ $\vec{a}$ có tọa độ $(x; y; z)$ nếu $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$, kí hiệu $\vec{a} = (x; y; z)$. Bộ ba số này là duy nhất với mỗi vectơ.

Tính chất cơ bản

Hai vectơ bằng nhau khi các tọa độ tương ứng bằng nhau.
$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$.

Ví dụ 1

$A(1; 2; 3)$, $B(4; 6; 3)$: $\overrightarrow{AB} = (3; 4; 0)$, $AB = \sqrt{9 + 16 + 0} = 5$.

Ví dụ 2

$\vec{a} = (2; -2; 1)$ có $|\vec{a}| = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3$.

Xem bài: Hệ trục tọa độ trong không gian

Tìm tọa độ điểm từ vectơ

Ví dụ

$\overrightarrow{AB} = (2; -1; 3)$ và $A(1; 1; 1)$ thì $B = A + \overrightarrow{AB} = (3; 0; 4)$.

Ví dụ hình hộp

Hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ biết $A(0; 0; 0)$, $B(2; 0; 0)$, $D(0; 3; 0)$, $A'(0; 0; 4)$ thì $\overrightarrow{AA'} = (0; 0; 4)$ và $C = B + \overrightarrow{AD} = (2; 3; 0)$, $C' = (2; 3; 4)$.

Xem bài: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ trong không gian

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Tìm tọa độ $\overrightarrow{AB}$ với $A(1; -1; 2)$, $B(3; 1; 5)$.
Tính $|\vec{a}|$ với $\vec{a} = (1; 2; 2)$.
Cho $\overrightarrow{AB} = (1; 2; 3)$ và $B(2; 3; 4)$. Tìm $A$.
Tìm $m$, $n$ để $\vec{a} = (1; m; 3)$ bằng $\vec{b} = (n; 2; 3)$.
Tính khoảng cách $AB$ với $A(0; 0; 0)$, $B(2; 3; 6)$.

Đáp án

$(2; 2; 3)$.
$3$.
$A = B - \overrightarrow{AB} = (1; 1; 1)$.
$m = 2$, $n = 1$.
$\sqrt{4 + 9 + 36} = 7$.

Tổng kết

Bài học liên quan

Bài trước: Hệ trục tọa độ trong không gian

Bài tiếp theo: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ trong không gian

Xem tất cả bài học chủ điểm Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Câu hỏi thường gặp

Tọa độ của vectơ trong không gian là gì?

Bộ ba số $(x; y; z)$ sao cho $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$.

Tính tọa độ vectơ AB thế nào?

Lấy tọa độ điểm cuối trừ tọa độ điểm đầu.

Độ dài vectơ tính thế nào?

$\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Khi nào hai vectơ bằng nhau?

Khi các tọa độ tương ứng bằng nhau.