Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ trong không gian: cộng, trừ, nhân, tích vô hướng và bài tập
Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ trong không gian: a ± b, k·a, tích vô hướng a·b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂, độ dài, góc giữa hai vectơ, điều kiện vuông góc và cùng phương, ví dụ và bài tập có đáp án Toán lớp 12.
Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ trong không gian
Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ trong không gian cho phép tính toán trực tiếp trên bộ ba số. Với $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$ và $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$ thì mỗi phép toán thực hiện trên từng thành phần, và tích vô hướng là $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.
Các công thức
| Phép toán | Tọa độ |
|---|---|
| Tổng, hiệu | $\vec{a} \pm \vec{b} = (x_1 \pm x_2; y_1 \pm y_2; z_1 \pm z_2)$ |
| Nhân với số | $k\vec{a} = (kx_1; ky_1; kz_1)$ |
| Tích vô hướng | $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$ |
| Độ dài | $|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}$ |
| Góc | $\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ |
| Vuông góc | $\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0$ |
| Cùng phương | $\vec{a} = k\vec{b}$ (các tọa độ tương ứng tỉ lệ) |
Xem bài: Tọa độ của vectơ trong không gian
Ví dụ
Ví dụ 1
$\vec{a} = (1; 2; 3)$, $\vec{b} = (2; -1; 0)$: $\vec{a} + \vec{b} = (3; 1; 3)$; $\vec{a} - 2\vec{b} = (-3; 4; 3)$; $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 - 2 + 0 = 0$ nên $\vec{a} \perp \vec{b}$.
Ví dụ 2: góc
$\vec{a} = (1; 1; 0)$, $\vec{b} = (1; 0; 1)$: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$; $|\vec{a}| = |\vec{b}| = \sqrt{2}$ nên $\cos = \dfrac{1}{2}$, góc $60^\circ$.
Ví dụ 3: tìm tham số
$\vec{a} = (1; m; 2)$ vuông góc $\vec{b} = (2; 1; -1)$: $2 + m - 2 = 0 \Rightarrow m = 0$.
Ví dụ 4: cùng phương
$\vec{a} = (1; 2; 3)$ và $\vec{b} = (2; m; n)$ cùng phương khi $\dfrac{2}{1} = \dfrac{m}{2} = \dfrac{n}{3}$ nên $m = 4$, $n = 6$.
Xem bài: Tọa độ của điểm trong không gian
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tính $\vec{a} \cdot \vec{b}$ với $\vec{a} = (1; -2; 3)$, $\vec{b} = (2; 1; 1)$.
- Tìm $m$ để $\vec{a} = (m; 1; 2)$ vuông góc $\vec{b} = (1; 2; -1)$.
- Tính $\cos(\vec{a}, \vec{b})$ với $\vec{a} = (1; 0; 0)$, $\vec{b} = (1; 1; 0)$.
- Tính $2\vec{a} - 3\vec{b}$ với $\vec{a} = (1; 2; 3)$, $\vec{b} = (0; 1; -1)$.
- $\vec{a} = (2; 4; 6)$ và $\vec{b} = (1; 2; 3)$ có cùng phương không?
Đáp án
- $2 - 2 + 3 = 3$.
- $m + 2 - 2 = 0 \Rightarrow m = 0$.
- $\dfrac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
- $(2; 4; 6) - (0; 3; -3) = (2; 1; 9)$.
- Có, $\vec{a} = 2\vec{b}$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Tọa độ của vectơ trong không gian
Bài tiếp theo: Tọa độ của điểm trong không gian
Xem tất cả bài học chủ điểm Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian
Câu hỏi thường gặp
Tích vô hướng bằng tọa độ?
$x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.
Điều kiện vuông góc bằng tọa độ?
$x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0$.
Điều kiện cùng phương?
Các tọa độ tương ứng tỉ lệ.
Tính góc giữa hai vectơ thế nào?
$\cos = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$.