Tọa độ của điểm trong không gian: trung điểm, trọng tâm, khoảng cách và bài tập có đáp án Toán lớp 12
Tọa độ của điểm trong không gian Oxyz: công thức tọa độ trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, trọng tâm tứ diện, khoảng cách giữa hai điểm AB = √[(x_B − x_A)² + (y_B − y_A)² + (z_B − z_A)²], hình chiếu và điểm đối xứng, ví dụ và bài tập có đáp án.
Tọa độ của điểm trong không gian
Tọa độ của điểm trong không gian $Oxyz$ là tọa độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$. Từ tọa độ các điểm ta tính được tọa độ trung điểm, trọng tâm và khoảng cách giữa hai điểm bằng các công thức tương tự trong mặt phẳng, bổ sung thành phần thứ ba.
Các công thức
| Đối tượng | Công thức |
|---|---|
| Trung điểm $M$ của $AB$ | $M\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}; \dfrac{y_A + y_B}{2}; \dfrac{z_A + z_B}{2}\right)$ |
| Trọng tâm tam giác $ABC$ | $G\left(\dfrac{x_A + x_B + x_C}{3}; \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}; \dfrac{z_A + z_B + z_C}{3}\right)$ |
| Trọng tâm tứ diện $ABCD$ | Trung bình cộng bốn đỉnh (chia $4$) |
| Khoảng cách $AB$ | $\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$ |
Xem bài: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ trong không gian
Ví dụ
Ví dụ 1
$A(1; 2; 3)$, $B(3; 4; 1)$: trung điểm $M(2; 3; 2)$; $AB = \sqrt{4 + 4 + 4} = 2\sqrt{3}$.
Ví dụ 2: trọng tâm
$A(1; 0; 0)$, $B(0; 2; 0)$, $C(0; 0; 3)$: $G\left(\dfrac{1}{3}; \dfrac{2}{3}; 1\right)$.
Ví dụ 3: tìm điểm
$M(1; 2; 3)$ là trung điểm $AB$ với $A(3; 2; 1)$: $B = (2 \cdot 1 - 3; 2 \cdot 2 - 2; 2 \cdot 3 - 1) = (-1; 2; 5)$.
Ví dụ 4: hình bình hành
Cho $A(1; 0; 1)$, $B(2; 1; 0)$, $C(3; 2; 2)$. $D$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành: $D = A + C - B = (2; 1; 3)$.
Hình chiếu và điểm đối xứng
| Phép | Với $M(x; y; z)$ |
|---|---|
| Hình chiếu lên $(Oxy)$ | $(x; y; 0)$ |
| Hình chiếu lên trục $Oz$ | $(0; 0; z)$ |
| Đối xứng qua $(Oxy)$ | $(x; y; -z)$ |
| Đối xứng qua trục $Ox$ | $(x; -y; -z)$ |
| Đối xứng qua gốc $O$ | $(-x; -y; -z)$ |
Xem bài: Bài tập tổng hợp vectơ trong không gian
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tìm trung điểm của $A(2; 0; 4)$ và $B(0; 6; -2)$.
- Tính $AB$ với $A(1; 1; 1)$, $B(2; 3; 3)$.
- Tìm trọng tâm tam giác $A(0; 0; 0)$, $B(3; 0; 0)$, $C(0; 3; 3)$.
- Tìm điểm đối xứng của $M(1; 2; 3)$ qua $(Oyz)$.
- $M$ là trung điểm $AB$, $A(1; 1; 1)$, $M(2; 3; 4)$. Tìm $B$.
Đáp án
- $(1; 3; 1)$.
- $\sqrt{1 + 4 + 4} = 3$.
- $(1; 1; 1)$.
- $(-1; 2; 3)$.
- $B = (3; 5; 7)$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ trong không gian
Bài tiếp theo: Bài tập tổng hợp vectơ trong không gian
Xem tất cả bài học chủ điểm Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian
Câu hỏi thường gặp
Tọa độ trung điểm trong không gian?
Trung bình cộng từng tọa độ của hai đầu mút.
Khoảng cách giữa hai điểm?
$\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$.
Tọa độ trọng tâm tam giác?
Trung bình cộng ba đỉnh.
Điểm đối xứng qua $(Oxy)$?
$(x; y; -z)$.