Vectơ trong không gian: định nghĩa, hai vectơ bằng nhau, quy tắc hình hộp và bài tập có đáp án Toán lớp 12
Vectơ trong không gian là đoạn thẳng có hướng, định nghĩa và các khái niệm giống vectơ trong mặt phẳng: điểm đầu, điểm cuối, giá, độ dài, hai vectơ cùng phương, bằng nhau. Quy tắc hình hộp, ví dụ trên hình hộp và bài tập có đáp án.
Vectơ trong không gian là gì?
Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng, với điểm đầu, điểm cuối, giá và độ dài, hoàn toàn tương tự vectơ trong mặt phẳng. Các khái niệm hai vectơ cùng phương, cùng hướng, bằng nhau, vectơ-không và vectơ đối đều được giữ nguyên.
Các khái niệm cơ bản
- Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có điểm đầu $A$, điểm cuối $B$, độ dài $|\overrightarrow{AB}| = AB$.
- Hai vectơ cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
- Hai vectơ bằng nhau nếu cùng hướng và cùng độ dài.
- Vectơ-không $\vec{0}$ có điểm đầu trùng điểm cuối.
Vectơ trên hình hộp
Ví dụ
Hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$: các cạnh song song và bằng nhau cho $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{D'C'}$; $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{DD'}$.
Dùng tính chất các mặt là hình bình hành.
Xem bài: Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian
Ba vectơ đồng phẳng
Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. Ba vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại $m$, $n$ sao cho $\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}$ (với $\vec{a}$, $\vec{b}$ không cùng phương).
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Tìm vectơ bằng $\overrightarrow{AD}$.
- Tính $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$.
- Hình hộp có độ dài ba cạnh $1, 2, 2$ ở một đỉnh (đôi một vuông góc). Tính $|\overrightarrow{AC'}|$.
- Ba vectơ nào của hình hộp là đồng phẳng: $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{AC}$?
- $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ có phải luôn bằng nhau không?
Đáp án
- $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{A'D'}$, $\overrightarrow{B'C'}$.
- $\overrightarrow{AC'}$.
- $\sqrt{1 + 4 + 4} = 3$.
- Đồng phẳng (cùng nằm trong $(ABCD)$).
- Không.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài tiếp theo: Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian
Xem tất cả bài học chủ điểm Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian
Câu hỏi thường gặp
Vectơ trong không gian là gì?
Là đoạn thẳng có hướng trong không gian.
Quy tắc hình hộp là gì?
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$.
Ba vectơ đồng phẳng là gì?
Ba vectơ có giá cùng song song một mặt phẳng.
Có gì khác vectơ trong mặt phẳng?
Thêm khái niệm đồng phẳng và quy tắc hình hộp.