Thể tích của khối chóp cụt đều: công thức V = ⅓h(B + B' + √(BB')) và bài tập có đáp án Toán lớp 11
Thể tích của khối chóp cụt có hai đáy diện tích B và B' và chiều cao h là V = ⅓·h·(B + B' + √(B·B')). Cách chứng minh bằng hiệu hai khối chóp, ví dụ chóp cụt đều đáy hình vuông và bài tập có đáp án Toán lớp 11.
Thể tích của khối chóp cụt
Thể tích của khối chóp cụt (phần của khối chóp nằm giữa đáy và một mặt phẳng song song với đáy) có diện tích hai đáy là $B$ và $B'$ và chiều cao $h$ là $V = \dfrac{1}{3}h\left(B + B' + \sqrt{BB'}\right)$.
Công thức
Cách xây dựng: khối chóp cụt là hiệu của khối chóp lớn (đáy $B$) và khối chóp nhỏ (đáy $B'$) cùng đỉnh. Hai đáy đồng dạng với tỉ số $k$ nên $B' = k^2B$ và các chiều cao tỉ lệ theo $k$.
Xem bài: Thể tích của khối lăng trụ
Ví dụ
Ví dụ 1
Chóp cụt đều đáy lớn hình vuông cạnh $4$, đáy nhỏ hình vuông cạnh $2$, chiều cao $3$: $B = 16$, $B' = 4$, $\sqrt{BB'} = 8$.
$V = \dfrac{1}{3} \cdot 3 \cdot (16 + 4 + 8) = 28$.
Ví dụ 2: kiểm tra bằng hiệu hai chóp
Chóp lớn có chiều cao $6$ (đáy cạnh $4$) thì chóp nhỏ (đáy cạnh $2$) có chiều cao $3$. $V = \dfrac{1}{3}\cdot 16 \cdot 6 - \dfrac{1}{3}\cdot 4 \cdot 3 = 32 - 4 = 28$.
Cho cùng kết quả với công thức.
Ví dụ 3
Chóp cụt có $B = 9$, $B' = 1$, $h = 6$: $V = \dfrac{1}{3} \cdot 6 \cdot (9 + 1 + 3) = 26$.
Khi nào dùng
Dùng khi bài toán cho chóp cụt (hình dạng như chiếc xô, hố đào) với hai đáy song song. Nếu thiếu dữ kiện, có thể dùng hiệu hai khối chóp và tính chất đồng dạng.
Xem bài: Bài tập tổng hợp quan hệ vuông góc
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Chóp cụt có $B = 16$, $B' = 9$, $h = 3$. Tính $V$.
- Chóp cụt đều đáy lớn hình vuông cạnh $6$, đáy nhỏ cạnh $3$, $h = 4$. Tính $V$.
- Chóp cụt có hai đáy bằng nhau $B = B' = 5$ và $h = 3$. Tính $V$ và nhận xét.
- Chóp cụt có $B' = 0$ (đáy nhỏ thu thành điểm). Công thức cho kết quả gì?
- Chóp cụt có $B = 25$, $B' = 4$, $h = 6$. Tính $V$.
Đáp án
- $\sqrt{16 \cdot 9} = 12$; $V = \dfrac{1}{3} \cdot 3 \cdot (16 + 9 + 12) = 37$.
- $B = 36$, $B' = 9$, $\sqrt{BB'} = 18$; $V = \dfrac{4}{3}(36 + 9 + 18) = 84$.
- $V = \dfrac{1}{3} \cdot 3 \cdot (15) = 15 = B \cdot h$: trở thành lăng trụ.
- $V = \dfrac{1}{3}Bh$: thể tích khối chóp.
- $\sqrt{25 \cdot 4} = 10$; $V = 2 \cdot (25 + 4 + 10) = 78$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Thể tích của khối lăng trụ
Bài tiếp theo: Bài tập tổng hợp quan hệ vuông góc
Xem tất cả bài học chủ điểm Quan hệ vuông góc trong không gian
Câu hỏi thường gặp
Công thức thể tích khối chóp cụt?
$V = \dfrac{1}{3}h\left(B + B' + \sqrt{BB'}\right)$.
Khối chóp cụt là gì?
Là phần khối chóp nằm giữa đáy và một mặt phẳng song song với đáy.
Chiều cao chóp cụt?
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy.
Có cách kiểm tra khác không?
Có, lấy thể tích chóp lớn trừ thể tích chóp nhỏ.