Thể tích của khối chóp: công thức V = ⅓·B·h, cách tìm chiều cao, ví dụ và bài tập có đáp án Toán lớp 11

Thể tích của khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là V = ⅓·B·h. Cách tìm diện tích đáy và chiều cao, ví dụ với hình chóp có cạnh bên vuông góc đáy, hình chóp đều, tứ diện đều và bài tập có đáp án Toán lớp 11.

$Thể tích của khối chóp: công thức V = ⅓·B·h, cách tìm chiều cao, ví dụ và bài tập có đáp án Toán lớp 11$

Thể tích của khối chóp

Thể tích của khối chóp có diện tích đáy $B$ và chiều cao $h$ (khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng đáy) là $V = \dfrac{1}{3}B \cdot h$. Để tính, cần xác định đúng đáy, diện tích đáy và chiều cao của khối chóp.

Công thức và các bước tính

Xác định mặt đáy và tính diện tích đáy $B$.
Xác định chiều cao $h$ (khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng đáy).
Thay vào công thức.

Xem bài: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Ví dụ

Ví dụ 1: cạnh bên vuông góc đáy

Hình chóp $S.ABCD$ đáy hình vuông cạnh $a$, $SA \perp (ABCD)$, $SA = a$: $B = a^2$, $h = a$ nên $V = \dfrac{1}{3}a^3$.

Ví dụ 2: tứ diện đều

Tứ diện đều cạnh $a$: đáy là tam giác đều $B = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$; chân đường cao là tâm đáy nên $h = \sqrt{a^2 - \left(\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
$V = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \dfrac{a\sqrt{6}}{3} = \dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}$.

Ví dụ 3: hình chóp tứ giác đều

Đáy hình vuông cạnh $a$, đường cao $h$: $V = \dfrac{1}{3}a^2 h$. Với $a = 2$, $h = 3$: $V = 4$.

Xem bài: Thể tích của khối lăng trụ

Tỉ số thể tích

Cho khối chóp $S.ABC$, các điểm $A' \in SA$, $B' \in SB$, $C' \in SC$. Khi đó $\dfrac{V_{S.A'B'C'}}{V_{S.ABC}} = \dfrac{SA'}{SA} \cdot \dfrac{SB'}{SB} \cdot \dfrac{SC'}{SC}$.

Ví dụ

Nếu $A'$, $B'$, $C'$ là trung điểm $SA$, $SB$, $SC$ thì tỉ số thể tích là $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}$.

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Hình chóp tam giác $S.ABC$ có đáy tam giác đều cạnh $a$, $SA \perp (ABC)$, $SA = a$. Tính $V$.
Hình chóp tứ giác đều đáy cạnh $a$, đường cao $\dfrac{a}{2}$. Tính $V$.
Hình chóp có $B = 12$, $h = 5$. Tính $V$.
Hình chóp $S.ABCD$ đáy hình chữ nhật $3 \times 4$, $SA \perp (ABCD)$, $SA = 5$. Tính $V$.
$A'$, $B'$, $C'$ lần lượt là trung điểm $SA$, $SB$ và $C' \equiv C$. Tính $\dfrac{V_{S.A'B'C}}{V_{S.ABC}}$.

Đáp án

$B = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$, $V = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot a = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{12}$.
$V = \dfrac{1}{3}a^2 \cdot \dfrac{a}{2} = \dfrac{a^3}{6}$.
$V = \dfrac{1}{3} \cdot 12 \cdot 5 = 20$.
$V = \dfrac{1}{3} \cdot 12 \cdot 5 = 20$.
$\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 1 = \dfrac{1}{4}$.