Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: đoạn vuông góc chung, cách tính và bài tập có đáp án Toán 11

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung, bằng khoảng cách từ một đường thẳng đến mặt phẳng chứa đường kia và song song với nó. Các cách tính, ví dụ trên hình lập phương và hình chóp và bài tập có đáp án Toán 11.

$Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: đoạn vuông góc chung, cách tính và bài tập có đáp án Toán 11$

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$ là độ dài đoạn vuông góc chung của chúng, tức đoạn thẳng nối hai điểm lần lượt thuộc $a$, $b$ và vuông góc với cả hai đường. Có nhiều cách tính, thường dùng nhất là đưa về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Các cách tính

Dựng đoạn vuông góc chung của $a$ và $b$ rồi tính độ dài (khi dễ dựng).
Tìm mặt phẳng $(P)$ chứa $b$ và song song với $a$; khi đó $d(a, b) = d(a, (P)) = d(A, (P))$ với $A$ là điểm bất kì trên $a$.
Dùng hai mặt phẳng song song lần lượt chứa $a$ và $b$: $d(a, b)$ bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.

Xem bài: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Ví dụ trên hình lập phương

Ví dụ 1

Hình lập phương cạnh $a$. $AB$ và $A'D'$ chéo nhau. Vì $AB \perp AA'$ và $AB \perp AD$ (mà $A'D' \parallel AD$) nên $AB \perp (ADD'A')$, và $A'D' \subset (ADD'A')$. Đoạn $AA'$ vuông góc với cả $AB$ và $A'D'$ nên $d(AB, A'D') = AA' = a$.

Ví dụ 2

$AA'$ và $BD$ chéo nhau. Gọi $O = AC \cap BD$: $AO \perp BD$ và $AO \perp AA'$ nên $d(AA', BD) = AO = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.

Ví dụ trên hình chóp

Ví dụ 3

Hình chóp $S.ABCD$ đáy hình vuông cạnh $a$, $SA \perp (ABCD)$, $SA = a$. Tính $d(SB, CD)$: $CD \parallel AB$ nên $CD \parallel (SAB)$ chứa $SB$. Do đó $d(SB, CD) = d(CD, (SAB)) = d(D, (SAB)) = AD = a$.

Chọn mặt phẳng chứa một đường thẳng và song song đường còn lại.

Xem bài: Thể tích của khối chóp

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Hình lập phương cạnh $a$. Tính khoảng cách giữa $AB$ và $CC'$.
Hình lập phương cạnh $a$. Tính khoảng cách giữa $AC$ và $BB'$.
Hình chóp $S.ABCD$ đáy hình vuông cạnh $a$, $SA \perp (ABCD)$, $SA = a$. Tính $d(SA, BC)$.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là gì?
Cách đưa về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng?

Đáp án

$BC$ vuông góc với cả $AB$ và $CC'$ nên $d = BC = a$.
Gọi $O = AC \cap BD$: $BO \perp AC$ và $BO \perp BB'$ nên $d = BO = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
$AB \perp SA$ và $AB \perp BC$ nên $d(SA, BC) = AB = a$.
Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng.
Tìm mặt phẳng chứa một đường và song song với đường kia rồi tính khoảng cách từ một điểm của đường kia đến mặt phẳng đó.