Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: cách dựng hình chiếu, dời điểm và bài tập có đáp án Toán 11
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là độ dài đoạn vuông góc hạ từ điểm đó xuống mặt phẳng. Cách dựng hình chiếu vuông góc, dời điểm theo đường thẳng song song hoặc tỉ lệ, ví dụ trên hình chóp có cạnh bên vuông góc đáy và bài tập có đáp án.
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là độ dài đoạn thẳng $MH$ với $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên mặt phẳng $(P)$, kí hiệu $d(M, (P)) = MH$. Đây là khoảng cách ngắn nhất từ $M$ đến các điểm của $(P)$.
Cách dựng hình chiếu vuông góc
- Chọn mặt phẳng $(Q)$ chứa $M$ và vuông góc với $(P)$ (nếu có).
- Tìm giao tuyến $c = (P) \cap (Q)$.
- Từ $M$ kẻ $MH \perp c$ trong $(Q)$: khi đó $MH \perp (P)$ và $d(M, (P)) = MH$.
Ví dụ
Ví dụ
Hình chóp $S.ABCD$ đáy hình vuông cạnh $a$, $SA \perp (ABCD)$, $SA = a$. Tính $d(A, (SBC))$.
$BC \perp AB$ và $BC \perp SA$ nên $BC \perp (SAB)$, suy ra $(SBC) \perp (SAB)$ theo giao tuyến $SB$.
Trong tam giác $SAB$ kẻ $AH \perp SB$: $AH \perp (SBC)$ và $AH = \dfrac{SA \cdot AB}{SB} = \dfrac{a \cdot a}{a\sqrt{2}} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Vậy $d(A, (SBC)) = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Dùng công thức đường cao tam giác vuông $\dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{SA^2} + \dfrac{1}{AB^2}$.
Ví dụ 2
Chiều cao hình chóp đều chính là khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng đáy; khoảng cách từ $A$ đến $(A'B'C'D')$ trong hình lập phương cạnh $a$ bằng $a$.
Dời điểm
- Nếu $MN \parallel (P)$ thì $d(M, (P)) = d(N, (P))$.
- Nếu đường thẳng $MN$ cắt $(P)$ tại $I$ thì $\dfrac{d(M, (P))}{d(N, (P))} = \dfrac{MI}{NI}$.
Ví dụ
$M$ là trung điểm $SB$: $d(M, (ABCD)) = \dfrac{1}{2}d(S, (ABCD))$ vì $\dfrac{MB}{SB} = \dfrac{1}{2}$ và $B \in (ABCD)$.
Xem bài: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Hình chóp $S.ABCD$ có $SA \perp (ABCD)$, $SA = 2a$. Tính $d(S, (ABCD))$.
- Hình lập phương cạnh $a$. Tính $d(A, (BCC'B'))$.
- Hình chóp $S.ABCD$, đáy hình vuông cạnh $a$, $SA \perp (ABCD)$, $SA = a$. Tính $d(D, (SAB))$.
- Nếu $MN \parallel (P)$ thì quan hệ $d(M, (P))$ và $d(N, (P))$?
- $I = MN \cap (P)$, $IM = 2IN$. Tỉ số $\dfrac{d(M, (P))}{d(N, (P))}$?
Đáp án
- $2a$.
- $AB \perp (BCC'B')$ nên $d = AB = a$.
- $AD \perp AB$ và $AD \perp SA$ nên $AD \perp (SAB)$: $d = AD = a$.
- Bằng nhau.
- $2$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài tiếp theo: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Xem tất cả bài học chủ điểm Quan hệ vuông góc trong không gian
Câu hỏi thường gặp
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là gì?
Là độ dài đoạn vuông góc hạ từ điểm đó xuống mặt phẳng.
Cách dựng hình chiếu?
Chọn mặt phẳng chứa điểm vuông góc với mặt phẳng đã cho, rồi hạ đường vuông góc xuống giao tuyến.
Khi nào hai điểm cùng khoảng cách tới mặt phẳng?
Khi đường thẳng nối hai điểm song song với mặt phẳng.
Chiều cao hình chóp là gì?
Là khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng đáy.