Góc nhị diện: định nghĩa, góc phẳng nhị diện, góc giữa hai mặt phẳng và bài tập có đáp án Toán lớp 11
Góc nhị diện là hình gồm hai nửa mặt phẳng có chung bờ. Số đo góc nhị diện là số đo góc phẳng nhị diện, góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau là góc nhị diện không tù. Cách xác định góc phẳng nhị diện, ví dụ trên hình chóp đều và bài tập có đáp án.
Góc nhị diện là gì?
Góc nhị diện là hình gồm hai nửa mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ có chung bờ là đường thẳng $c$, kí hiệu $[P, c, Q]$. Để đo góc nhị diện ta dùng góc phẳng nhị diện: góc tạo bởi hai tia nằm trong hai nửa mặt phẳng, cùng vuông góc với bờ $c$ tại một điểm.
Góc phẳng nhị diện
Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau là góc nhị diện không tù (số đo thuộc $[0^\circ; 90^\circ]$). Hai mặt phẳng vuông góc khi góc giữa chúng bằng $90^\circ$.
Xem bài: Hai mặt phẳng vuông góc
Cách tính góc giữa hai mặt phẳng
- Tìm giao tuyến $c$ của hai mặt phẳng.
- Trong mỗi mặt phẳng dựng đường thẳng vuông góc với $c$ tại cùng một điểm (hoặc qua một điểm của $c$).
- Góc giữa hai đường thẳng đó là góc giữa hai mặt phẳng; tính bằng tam giác vuông.
Ví dụ 1
Hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy cạnh $a$, đường cao $SO = \dfrac{a}{2}$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. $OM \perp BC$ và $SM \perp BC$ nên góc giữa $(SBC)$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SMO}$, $OM = \dfrac{a}{2}$.
$\tan\widehat{SMO} = \dfrac{SO}{OM} = 1$ nên góc bằng $45^\circ$.
Ví dụ 2
Hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$: góc giữa $(A'BCD')$ và $(ABCD)$: giao tuyến là $BC$; $AB \perp BC$ và $A'B \perp BC$ nên góc là $\widehat{A'BA} = 45^\circ$.
Xem bài: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Hình chóp tứ giác đều đáy cạnh $2$, đường cao $\sqrt{3}$. Tính góc giữa mặt bên và đáy.
- Hình lập phương cạnh $a$. Tính góc giữa $(ABC'D')$ và $(ABCD)$.
- Góc giữa hai mặt phẳng song song bằng bao nhiêu?
- Hai mặt phẳng vuông góc có góc nhị diện bằng bao nhiêu?
- Điều kiện để góc $\widehat{xOy}$ là góc phẳng nhị diện?
Đáp án
- $OM = 1$, $SO = \sqrt{3}$ nên $\tan = \sqrt{3}$, góc $60^\circ$.
- $BC' \perp AB$ và $BC \perp AB$ nên góc là $\widehat{C'BC} = 45^\circ$.
- $0^\circ$.
- $90^\circ$.
- Hai tia nằm trong hai nửa mặt phẳng và cùng vuông góc với bờ tại một điểm.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Hai mặt phẳng vuông góc
Bài tiếp theo: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Xem tất cả bài học chủ điểm Quan hệ vuông góc trong không gian
Câu hỏi thường gặp
Góc nhị diện là gì?
Là hình gồm hai nửa mặt phẳng có chung bờ.
Góc phẳng nhị diện xác định thế nào?
Là góc giữa hai tia vuông góc với bờ tại một điểm, mỗi tia nằm trong một nửa mặt phẳng.
Góc giữa hai mặt phẳng nằm trong khoảng nào?
Từ $0^\circ$ đến $90^\circ$.
Cách tính góc giữa hai mặt phẳng?
Tìm giao tuyến, dựng hai đường vuông góc với giao tuyến và tính góc giữa chúng.