Hai mặt phẳng vuông góc: định nghĩa, điều kiện, tính chất và bài tập có đáp án Toán lớp 11
Hai mặt phẳng vuông góc là hai mặt phẳng cắt nhau tạo thành góc nhị diện vuông. Điều kiện một mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia, các tính chất về giao tuyến, ví dụ trên hình chóp có cạnh bên vuông góc đáy và bài tập có đáp án.
Hai mặt phẳng vuông góc
Hai mặt phẳng vuông góc là hai mặt phẳng cắt nhau và góc giữa chúng bằng $90^\circ$, kí hiệu $(P) \perp (Q)$. Nhận biết hai mặt phẳng vuông góc thường dựa vào đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc
Ví dụ
Hình chóp $S.ABCD$ có $SA \perp (ABCD)$. Mặt phẳng $(SAB)$ chứa $SA \perp (ABCD)$ nên $(SAB) \perp (ABCD)$; tương tự $(SAD) \perp (ABCD)$ và $(SAC) \perp (ABCD)$.
Xem bài: Phép chiếu vuông góc và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Tính chất
- Nếu $(P) \perp (Q)$ thì mọi đường thẳng $a \subset (P)$ vuông góc với giao tuyến $c = (P) \cap (Q)$ đều vuông góc với $(Q)$.
- Nếu $(P) \perp (Q)$ và $A \in (P)$ thì đường thẳng qua $A$ vuông góc với $(Q)$ nằm trong $(P)$.
- Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
Ví dụ
Hộp chữ nhật: hai mặt kề nhau vuông góc; chẳng hạn $(ABCD) \perp (ADD'A')$ vì $AA' \perp (ABCD)$ và $AA' \subset (ADD'A')$.
Cách chứng minh
- Tìm đường thẳng $a$ nằm trong $(P)$ và chứng minh $a \perp (Q)$ (vuông góc hai đường cắt nhau trong $(Q)$).
- Kết luận $(P) \perp (Q)$.
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Hình chóp $S.ABCD$ có $SA \perp (ABCD)$. Chứng minh $(SAD) \perp (ABCD)$.
- Hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$. Chứng minh $(ABB'A') \perp (ABCD)$.
- Hình chóp $S.ABCD$, đáy hình vuông, $SA \perp (ABCD)$. Chứng minh $(SAC) \perp (SBD)$.
- Giao tuyến của hai mặt phẳng vuông góc quan hệ thế nào với đường thẳng trong mặt phẳng này vuông góc với nó?
- Hai mặt phẳng song song có vuông góc không?
Đáp án
- $SA \subset (SAD)$ và $SA \perp (ABCD)$ nên $(SAD) \perp (ABCD)$.
- $AA' \subset (ABB'A')$ và $AA' \perp (ABCD)$.
- $BD \perp AC$ và $BD \perp SA$ nên $BD \perp (SAC)$; $BD \subset (SBD)$ nên $(SAC) \perp (SBD)$.
- Đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng còn lại.
- Không.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Phép chiếu vuông góc và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Xem tất cả bài học chủ điểm Quan hệ vuông góc trong không gian
Câu hỏi thường gặp
Hai mặt phẳng vuông góc là gì?
Là hai mặt phẳng cắt nhau tạo thành góc nhị diện $90^\circ$.
Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc?
Một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
Tính chất về giao tuyến?
Đường thẳng trong mặt phẳng này vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
Ví dụ thường gặp?
Các mặt kề nhau của hình hộp chữ nhật.