Phép chiếu vuông góc và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: định nghĩa, cách tính và bài tập có đáp án
Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: góc giữa d và (P) là góc giữa d và hình chiếu vuông góc của nó trên (P), có số đo từ 0° đến 90°. Cách xác định, ví dụ trên hình chóp có cạnh bên vuông góc đáy và bài tập có đáp án.
Phép chiếu vuông góc và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng $(P)$ là phép chiếu song song theo phương vuông góc với $(P)$. Hình chiếu vuông góc của điểm $M$ là chân đường vuông góc hạ từ $M$ xuống $(P)$. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng được định nghĩa qua phép chiếu này.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
- Tìm giao điểm $O$ của $d$ và $(P)$.
- Lấy điểm $M \in d$ và dựng hình chiếu vuông góc $H$ của $M$ trên $(P)$.
- Góc cần tìm là $\widehat{MOH}$; tính trong tam giác vuông $MHO$.
Xem bài: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Ví dụ
Ví dụ 1
Hình chóp $S.ABCD$ đáy hình vuông cạnh $a$, $SA \perp (ABCD)$, $SA = a$. Góc giữa $SB$ và $(ABCD)$: hình chiếu của $SB$ là $AB$ nên góc là $\widehat{SBA}$, $\tan\widehat{SBA} = \dfrac{SA}{AB} = 1$ nên bằng $45^\circ$.
Ví dụ 2
Góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SCA}$ với $AC = a\sqrt{2}$: $\tan\widehat{SCA} = \dfrac{a}{a\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ nên khoảng $35{,}3^\circ$.
Ví dụ 3
Hình lập phương cạnh $a$: góc giữa $A'C$ và $(ABCD)$ là $\widehat{A'CA}$, $\tan = \dfrac{a}{a\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
Xem bài: Hai mặt phẳng vuông góc
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$. Hình chiếu của $SB$ trên $(ABC)$ là đường nào?
- Hình chóp $S.ABCD$ đáy hình vuông cạnh $a$, $SA \perp (ABCD)$, $SA = a\sqrt{3}$. Tính góc giữa $SB$ và $(ABCD)$.
- Góc giữa đường thẳng vuông góc mặt phẳng và mặt phẳng đó bằng bao nhiêu?
- Hình lập phương cạnh $a$. Góc giữa $BD'$ và $(ABCD)$ thỏa $\tan$ bằng bao nhiêu?
- Góc giữa đường thẳng song song mặt phẳng và mặt phẳng đó?
Đáp án
- $AB$.
- $\tan\widehat{SBA} = \dfrac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3}$ nên $60^\circ$.
- $90^\circ$.
- $\tan = \dfrac{DD'}{BD} = \dfrac{a}{a\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
- $0^\circ$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Bài tiếp theo: Hai mặt phẳng vuông góc
Xem tất cả bài học chủ điểm Quan hệ vuông góc trong không gian
Câu hỏi thường gặp
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là gì?
Là góc giữa đường thẳng và hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng.
Hình chiếu vuông góc của một điểm?
Là chân đường vuông góc hạ từ điểm đó xuống mặt phẳng.
Góc này nằm trong khoảng nào?
Từ $0^\circ$ đến $90^\circ$.
Cách tính?
Dựng hình chiếu và tính trong tam giác vuông.