Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: điều kiện, tính chất, định lí ba đường vuông góc và bài tập có đáp án
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng. Điều kiện chỉ cần vuông góc hai đường thẳng cắt nhau, các tính chất, định lí ba đường vuông góc, ví dụ trên hình chóp có cạnh bên vuông góc đáy và bài tập có đáp án.
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$, kí hiệu $d \perp (P)$, nếu $d$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$. Trong thực hành chỉ cần chứng minh $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong $(P)$.
Điều kiện và tính chất
- Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
- Qua một điểm có duy nhất một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
- Nếu $a \parallel b$ và $a \perp (P)$ thì $b \perp (P)$.
- Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.
Xem bài: Hai đường thẳng vuông góc
Ví dụ trên hình chóp
Ví dụ 1
Hình chóp $S.ABCD$ đáy hình vuông, $SA \perp (ABCD)$. Chứng minh $BC \perp (SAB)$.
$BC \perp AB$ (hình vuông) và $BC \perp SA$ (vì $SA \perp (ABCD)$). Hai đường $AB$, $SA$ cắt nhau trong $(SAB)$ nên $BC \perp (SAB)$.
Ví dụ 2
Cũng với hình chóp trên, $BD \perp AC$ và $BD \perp SA$ nên $BD \perp (SAC)$, suy ra $BD \perp SC$.
Định lí ba đường vuông góc
Ví dụ
Hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Hình chiếu của $SB$ trên $(ABC)$ là $AB$. Vì $BC \perp AB$ nên $BC \perp SB$.
Xem bài: Phép chiếu vuông góc và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Hình chóp $S.ABCD$ đáy hình chữ nhật, $SA \perp (ABCD)$. Chứng minh $CD \perp (SAD)$.
- Cùng hình chóp, chứng minh $CD \perp SD$.
- Qua một điểm có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng cho trước?
- Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng có quan hệ gì?
- Cho $d \perp (P)$. $d$ có vuông góc mọi đường thẳng trong $(P)$ không?
Đáp án
- $CD \perp AD$ và $CD \perp SA$ ($AD$, $SA$ cắt nhau trong $(SAD)$).
- $SD \subset (SAD)$ và $CD \perp (SAD)$ nên $CD \perp SD$.
- Duy nhất một.
- Song song.
- Có.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Hai đường thẳng vuông góc
Bài tiếp theo: Phép chiếu vuông góc và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Xem tất cả bài học chủ điểm Quan hệ vuông góc trong không gian
Câu hỏi thường gặp
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là gì?
Là đường thẳng vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
Điều kiện nhận biết?
Vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng.
Định lí ba đường vuông góc là gì?
$a \perp b \Leftrightarrow a \perp b'$ với $b'$ là hình chiếu của $b$ trên mặt phẳng chứa $a$.
Hai đường cùng vuông góc mặt phẳng?
Song song với nhau.