Hai đường thẳng vuông góc trong không gian: định nghĩa, tính chất, cách chứng minh và bài tập có đáp án

Hai đường thẳng vuông góc trong không gian

Hai đường thẳng vuông góc trong không gian là hai đường thẳng có góc giữa chúng bằng $90^\circ$, kí hiệu $a \perp b$. Hai đường thẳng vuông góc có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. Khái niệm này mở rộng khái niệm vuông góc của hình học phẳng.

Định nghĩa và tính chất

• Nếu $a \parallel b$ và $c \perp a$ thì $c \perp b$.
• Nếu $a \perp b$ thì $a \perp b'$ với mọi $b' \parallel b$.
• Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba chưa chắc song song.

Xem bài: Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc

1. Chứng minh góc giữa chúng bằng $90^\circ$ (dựng song song, dùng tam giác vuông).
2. Dùng tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương: $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
3. Dùng đường thẳng vuông góc mặt phẳng: nếu $a \perp (P)$ thì $a$ vuông góc mọi đường thẳng nằm trong $(P)$.

Xem bài: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

1. Hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Chứng minh $AB \perp A'D$.
2. Tứ diện đều $ABCD$. Chứng minh $AB \perp CD$.
3. Hai đường thẳng vuông góc có thể chéo nhau không?
4. Nếu $a \parallel b$ và $c \perp a$ thì quan hệ $c$ và $b$?
5. Dùng vectơ: $\vec{u} = (1; 2; 3)$, $\vec{v} = (2; 1; -4/3)$. Hai đường có vuông góc không?

Đáp án

1. $AB \perp (ADD'A')$ và $A'D \subset (ADD'A')$ nên $AB \perp A'D$.
2. Gọi $M$ trung điểm $CD$: $CD \perp (ABM)$ nên $CD \perp AB$.
3. Có.
4. $c \perp b$.
5. $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 + 2 - 4 = 0$ nên vuông góc.

Tổng kết

Bài học liên quan

Bài trước: Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Bài tiếp theo: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Xem tất cả bài học chủ điểm Quan hệ vuông góc trong không gian