Góc giữa hai đường thẳng trong không gian: định nghĩa, cách xác định, ví dụ hình lập phương và bài tập

Góc giữa hai đường thẳng trong không gian là góc giữa hai đường thẳng cắt nhau cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với chúng, có số đo từ 0° đến 90°. Cách xác định, ví dụ trên hình lập phương và tứ diện, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án.

Góc giữa hai đường thẳng trong không gian: định nghĩa, cách xác định, ví dụ hình lập phương và bài tập

Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Góc giữa hai đường thẳng trong không gian $a$ và $b$ là góc giữa hai đường thẳng $a'$ và $b'$ cùng đi qua một điểm $O$ nào đó và lần lượt song song với $a$ và $b$. Số đo góc này không phụ thuộc vào việc chọn điểm $O$ và nằm trong khoảng từ $0^\circ$ đến $90^\circ$.

Định nghĩa và cách xác định

  1. Chọn điểm $O$ thuận lợi (thường là một đỉnh hoặc trung điểm).
  2. Qua $O$ dựng $a' \parallel a$ và $b' \parallel b$ (hoặc dịch một đường thẳng sang đường kia).
  3. Tính góc giữa $a'$ và $b'$ trong tam giác tạo thành (dùng định lí côsin hoặc tam giác đặc biệt).

Xem bài: Bài tập tổng hợp quan hệ song song

Ví dụ trên hình lập phương

Ví dụ 1

Hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$. Góc giữa $AC$ và $A'D'$: vì $A'D' \parallel AD$ nên $(AC, A'D') = (AC, AD) = \widehat{CAD} = 45^\circ$ (đường chéo hình vuông).

Ví dụ 2

Góc giữa $A'B$ và $AD'$: $A'B \parallel D'C$ nên $(A'B, AD') = (D'C, AD') = \widehat{AD'C}$. Tam giác $AD'C$ có $AD' = D'C = AC = a\sqrt{2}$ (đều) nên góc bằng $60^\circ$.

Ví dụ 3

Góc giữa $AB$ và $DD'$: $DD' \parallel AA'$ mà $AB \perp AA'$ nên góc bằng $90^\circ$.

Xem bài: Hai đường thẳng vuông góc

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

  1. Hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Tính góc giữa $AB$ và $A'D'$.
  2. Hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Tính góc giữa $AC$ và $A'C'$.
  3. Tứ diện đều $ABCD$. Tính góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $AC$.
  4. Hình lập phương cạnh $a$. Tính góc giữa $AB'$ và $BC'$.
  5. Góc giữa hai đường thẳng song song bằng bao nhiêu?

Đáp án

  1. $A'D' \parallel AD$ và $AB \perp AD$ nên $90^\circ$.
  2. $AC \parallel A'C'$ nên góc bằng $0^\circ$.
  3. Hai đường cắt nhau tại $A$ trong tam giác đều $ABC$ nên $60^\circ$.
  4. $BC' \parallel AD'$; tam giác $AB'D'$ đều (ba đường chéo mặt bằng nhau) nên $60^\circ$.
  5. $0^\circ$.

Tổng kết

Bài học liên quan

Bài tiếp theo: Hai đường thẳng vuông góc

Xem tất cả bài học chủ điểm Quan hệ vuông góc trong không gian

Câu hỏi thường gặp

Góc giữa hai đường thẳng trong không gian là gì?

Là góc giữa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng đã cho.

Góc này nằm trong khoảng nào?

Từ $0^\circ$ đến $90^\circ$.

Cách xác định?

Qua một điểm dựng hai đường thẳng song song với hai đường đã cho rồi tính góc.

Góc giữa hai đường song song?

Bằng $0^\circ$.