Giá trị lượng giác của hai góc bù nhau và phụ nhau: công thức, ví dụ và bài tập có đáp án

Hai góc bù nhau và phụ nhau có quan hệ giữa các giá trị lượng giác: sin(180° − α) = sin α, cos(180° − α) = −cos α, sin(90° − α) = cos α. Công thức, cách nhớ, ví dụ, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án.

$Giá trị lượng giác của hai góc bù nhau và phụ nhau: công thức, ví dụ và bài tập có đáp án$

Giá trị lượng giác của hai góc bù nhau

Hai góc bù nhau và phụ nhau là hai cặp góc thường gặp khi tính giá trị lượng giác. Hai góc bù nhau có tổng bằng $180^\circ$ và hai góc phụ nhau có tổng bằng $90^\circ$. Biết quan hệ này, ta quy giá trị lượng giác của góc tù về góc nhọn rất nhanh.

Hai góc bù nhau (α và 180° − α)

Công thức	Ghi nhớ
$\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$	sin bằng nhau
$\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$	cos đối nhau
$\tan(180^\circ - \alpha) = -\tan\alpha$	tan đối nhau
$\cot(180^\circ - \alpha) = -\cot\alpha$	cot đối nhau

Ví dụ

$\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$.
$\cos 135^\circ = -\cos 45^\circ = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Xem bài: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Hai góc phụ nhau (α và 90° − α)

Công thức	Ghi nhớ
$\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$	sin góc này là cos góc kia
$\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha$
$\tan(90^\circ - \alpha) = \cot\alpha$	tan góc này là cot góc kia
$\cot(90^\circ - \alpha) = \tan\alpha$

Ví dụ

$\sin 60^\circ = \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
$\tan 70^\circ = \cot 20^\circ$.

Cách ứng dụng

Tính giá trị lượng giác của góc tù bằng cách quy về góc nhọn bù với nó.
Chứng minh đẳng thức lượng giác trong tam giác: $A + B + C = 180^\circ$ nên $\sin(A + B) = \sin C$, $\cos(A + B) = -\cos C$.

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Tính $\sin 120^\circ$ và $\cos 120^\circ$ qua góc bù.
Tính $\tan 150^\circ$.
Rút gọn $\sin 20^\circ - \cos 70^\circ$.
Cho tam giác $ABC$. Chứng minh $\sin A = \sin(B + C)$.
Tính $\cos 40^\circ + \cos 140^\circ$.

Đáp án

$\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$; $\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\dfrac{1}{2}$.
$\tan 150^\circ = -\tan 30^\circ = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
$\cos 70^\circ = \sin 20^\circ$ nên hiệu bằng $0$.
$B + C = 180^\circ - A$ nên $\sin(B + C) = \sin(180^\circ - A) = \sin A$.
$\cos 140^\circ = -\cos 40^\circ$ nên tổng bằng $0$.