Phương trình mũ: cách giải, đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, lôgarit hóa và bài tập có đáp án Toán lớp 11
Phương trình mũ là phương trình có ẩn ở số mũ. Cách giải phương trình mũ cơ bản aˣ = b, đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ t = aˣ, lôgarit hóa hai vế, ví dụ chi tiết, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án Toán 11.
Phương trình mũ là gì?
Phương trình mũ là phương trình chứa ẩn ở số mũ của lũy thừa. Phương trình mũ cơ bản có dạng $a^x = b$ ($a > 0$, $a \neq 1$): có nghiệm duy nhất $x = \log_a b$ nếu $b > 0$ và vô nghiệm nếu $b \leq 0$.
Phương trình mũ cơ bản
Ví dụ 1
$2^x = 8 \Leftrightarrow x = 3$; $3^x = 5 \Leftrightarrow x = \log_3 5$; $2^x = -1$ vô nghiệm.
Dạng 1: đưa về cùng cơ số
Ví dụ 2
$3^{2x - 1} = 27 \Leftrightarrow 3^{2x - 1} = 3^3 \Leftrightarrow 2x - 1 = 3 \Leftrightarrow x = 2$.
Ví dụ 3
$4^x = 2^{x + 2} \Leftrightarrow 2^{2x} = 2^{x + 2} \Leftrightarrow 2x = x + 2 \Leftrightarrow x = 2$.
Ví dụ 4
$\left(\dfrac{1}{2}\right)^x = 4 \Leftrightarrow 2^{-x} = 2^2 \Leftrightarrow x = -2$.
Dạng 2: đặt ẩn phụ
Ví dụ 5
$4^x - 3 \cdot 2^x + 2 = 0$. Đặt $t = 2^x > 0$: $t^2 - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1$ hoặc $t = 2$.
$2^x = 1 \Rightarrow x = 0$; $2^x = 2 \Rightarrow x = 1$. Tập nghiệm $\{0; 1\}$.
Nhớ điều kiện $t > 0$.
Ví dụ 6: lôgarit hóa
$2^x = 3^{x - 1}$: lấy lôgarit cơ số $2$: $x = (x - 1)\log_2 3 \Rightarrow x(1 - \log_2 3) = -\log_2 3 \Rightarrow x = \dfrac{\log_2 3}{\log_2 3 - 1}$.
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Giải $5^{x + 1} = 125$.
- Giải $9^x = 3^{x + 3}$.
- Giải $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$.
- Giải $2^x = 7$.
- Giải $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x - 1} = 9$.
Đáp án
- $x + 1 = 3 \Rightarrow x = 2$.
- $2x = x + 3 \Rightarrow x = 3$.
- $t = 2^x$: $t^2 - 5t + 4 = 0 \Rightarrow t = 1$ hoặc $4$; $x = 0$ hoặc $x = 2$.
- $x = \log_2 7$.
- $3^{-(x - 1)} = 3^2 \Rightarrow -(x - 1) = 2 \Rightarrow x = -1$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài tiếp theo: Phương trình lôgarit
Xem tất cả bài học chủ điểm Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Câu hỏi thường gặp
Phương trình mũ là gì?
Là phương trình có ẩn ở số mũ.
Nghiệm của $a^x = b$?
$x = \log_a b$ nếu $b > 0$, vô nghiệm nếu $b \leq 0$.
Cách giải thường dùng?
Đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ hoặc lôgarit hóa.
Điều kiện khi đặt $t = a^x$?
$t > 0$.